Доведення.

Для спрощення викладок розглядатимемо дроби з однаковими знаменниками. Оскільки у формулюванні теореми є словосполучення «тоді і тільки тоді», то доведення складатиметься з двох частин: 1) якщо різниця -існує, то ³; 2) якщо ³, то різниця -існує.

Доведемо першу частину. Оскільки різниця -існує, то маємо -=, де m³p, а тому ³(Чому?!). Першу частину доведено. Для доведення другої частини використаємо те, що ³. Оскільки ³, то різниця -- додатна, а тоді -=- також додатна. Це означає, що m-p³0. Отже, число m-p належить множині Z₀. Таким чином, різниця -існує. Теорему доведено повністю.

Теорема: якщо різниця невід’ємних раціональних чисел існує, то вона єдина.

Доведення цієї теореми пропонуємо провести методом від супротивного самостійно.