Звуковое сопровождение лекции
Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными
Рассмотрим систему
(*)
Обозначим
– 
– столбец неизвестных,
– 
– матрица коэффициентов переднеизвестными,
– – столбец свободных членов.
Тогда система уравнений (*) может быть записана в форме матричного уравнения
. (**)
Если 
, существует и единственно решение матричного уравнения (**)
, (1)
или в поэлементной записи
(2)
где 
– главный определитель системы; 
– определитель, полученный из главного путем замены 
-го столбца столбцом свободных членов (формулы (2) называются формулами Крамера).
Подробнее
, 
.
Вывод
Если главный определитель системы 
линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то существует и единственно решение такой системы. Оно может быть найдено одним из трех способов:
1) матричным способом;
2) по формулам Крамера;
3) методом Гаусса (приведение системы к треугольному виду).
Алгоритм реализации последнего совпадает с алгоритмом приведения определителя к треугольному виду.
Пример
Решите систему линейных уравнений 
используя формулы Крамера.
Решение
По формулам Крамера 
, 
, 
и 
.
Пример12 (для самопроверки)
Решите систему линейных уравнений, используя формулы Крамера: 
Ответ
Пример
Решите систему линейных уравнений, используя метод Гаусса
Решение
Запишем расширенную матрицу системы и воспользуемся примером, рассмотренным в пункте 1.5:
1 действие. В качестве рабочей строки выберем первую строку, затем, пользуясь 7 свойством определителей, сложим первую строку, умноженную на -1 с остальными тремя строками.
2 действие. В качестве рабочей строки выберем вторую строку, затем, сложим вторую строку, умноженную на -2 с третьей строкой и сложим ее, умноженную на -3, с четвертой строкой.
3 действие. В качестве рабочей строки – третью, затем умножим ее на -3 и прибавим к четвертой строке. Таким образом, мы привели определитель к треугольному виду и можем легко вычислить его.
Восстановим по матрице систему полученных уравнений:
Из системы видно, что 
Пример 13 (для самопроверки)
Решите систему линейных уравнений, используя метод Гаусса:
Ответ
2.5. Задания для самопроверки
Открыть задания