Звуковое сопровождение лекции

Свойства определителей

(уметь доказывать для определителей третьего порядка)

1°. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется:

.

Доказательство

Вычислить левую и правую части равенства по правилу треугольника и сравнить результаты.

2°. Перестановка любых двух строк (столбцов) меняет знак определителя:

.

3°. Определитель с двумя равными строками (столбцами) равен нулю:

.

Доказательство

Рассмотрим . Переставим в этом определителе первую и вторую строки. По предыдущему свойству

.

Следовательно, . Отсюда .

4°. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя:

.

5°. Определитель, у которого две строки (2 столбца) пропорциональны, равен нулю:

.

6°. Определитель, в некоторой строке которого каждый элемент равен сумме двух слагаемых, равен сумме двух определителей:

.

7°. Величина определителя не изменится, если ко всем элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число :

.

Замечание

В новом определителе без изменения записывается строка, которую умножали на (рабочая строка).