Решение

Решение

Q2

Q1

r R1 1

r2

r3

R2 III II I

E



n

E



n

36

Точки, в которых требуется найти напряжённости

электрического поля, лежат в трёх областях (см. рис.1):

область I ( r1<R1), область II (R1< r2<R2), область III (r3>R2).

1. Для определения напряжённости Е1 в I области,

проведём сферическую поверхность S1 радиусом r1 и восполь-

зуемся теоремой Гаусса. Так как внутри области I зарядов

нет, то получим

1

0 n

S

􀀀 E dS  (1)

где En – нормальная составляющая напряжённости электри-

ческого поля.

Из соображения симметрии нормальная составляю-

щая En должна быть равна самой напряжённости и постоянная

для всех точек сферы, т.е. En =E1=const. Поэтому _______её можно

вынести за знак интеграла:

1

1 0

S

E 􀀀 dS  .

Так как dS  0 , то Е1=0, т.е. напряжённость электрического

поля внутри первой сферы равна нулю.

2. В области II проведём сферическую поверхность

радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится

заряд Q1, то для неё, согласно теореме Гаусса, можно записать

равенство

2

n 1 0

S

􀀀 E dS  Q  .

Так как En =E2=const, то из условий симметрии следует

2

2 1 0

S

Е 􀀀 dS  Q  , или 2 2 1 0 Е S  Q  ,

откуда

2 1 0 2 Е  Q  S .

Подставив сюда выражение для площади сферы, получим

2

2 1 0 2 Е  Q 4 r . (3)

37

3. В области III проведём сферическую поверхность

радиусом r3 . Эта поверхность охватывает суммарный заряд

Q1+Q2. Cледовательно для неё теорема Гаусса имеет вид

3

1 2 0 ( ) n

S

 Е dS  Q Q  .

Так как En =E3=const, то из условий симметрии следует

2

3 1 2 0 3 Е  (Q Q ) 4 r . (4)

Выразив все величины в системе СИ и произведя вычисле-

ния, получим

2 Е  1,11кВ / м , 3 Е  200В / м .

4. Построим график Е(r). В области I (r1<R1) напряжён-

ность Е = 0. В области II (R1<r1<R2) напряжённость Е2(r)

изменяется по закону 1/r2. В точке r=R1 напряжённость

2

2 1 1 0 1 Е (R ) Q (4 R ) 2500В/ м.

В точке r=R2 (r стремится к R2 слева)

2

2 2 1 0 2 Е (R ) Q (4 R ) 900В/м.

В области III (r>R2) Е3(r) изменяется по закону 1/r2,

причём в точке r=R2 (r стремится к R2 cправа)

2

3 2 1 2 0 2 Е (R ) (Q Q ) (4 R ) 450В/ м.

Таким образом, функция Е(r) в точках r=R1 и r=R2 терпит

разрыв. График зависимости Е(r) представлен на рис.2.

R1 R2 r

E,В/м

2500

900

450

0

I

II

III

Рис.2

38

Пример 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окруж-

ности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью

 =10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал 

электрического поля, создаваемого таким распределенным

зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги.

Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Выберем оси координат так, чтобы начало координат

совпало с центром кривизны дуги, а ось Oy была бы

симметрично расположена

относительно концов дуги.

На нити выделим элемент

длины dl. Заряд dQ= dl,

находящийся на выделен-

ном участке, можно считать

точечным.

Определим напряжен-

ность электрического поля

в точке О. Для этого найдем

сначала напряженность dE

поля,создаваемого зарядом

dQ:

где r –радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке,

в которой вычисляется напряженность.

Выразим вектор dE 

через проекции dEx и dEy на оси

координат:

3

0

,

4

d dlr

r





 

 

39

dE  idEx  jdEy

   

,

где i



и j



– единичные векторы направлений (орты).

Напряженность Е найдем интегрированием. Интегриро-

вание ведется вдоль дуги длиной l.

В силу симметрии 0 x

l

dE  . Тогда y

l

E  j dE  

, (1)

где 2

0 0

cos cos cos

y 4 4

dE dE Rd d

R R

  

   

 

   ,

так как r=R=const, dl  Rd .

Подставим y dE в выражение (1) и, приняв во внимание

симметричное расположение дуги относительно оси Оу,

пределы интегрирования возьмем от 0 до /3, а результат

удвоим:

Выразив радиус R через длину l нити (3l=2R), получим

(2)

Из этой формулы видно, что напряженность поля по

направлению совпадает с осью Оу.

Найдем потенциал электрического поля в точке О.Сначала

найдем потенциал d, поля создаваемого точечным зарядом

dQ в точке О:

d = dl /(40 r).

Заменим r на R и проведем интегрирование:

. x y

l l l

   d  i  d  j  d    

π 3

0 0 0

2τ cos d τ 3/2.

4πε 2πε

E j j

R R

       

0

τ 3 .

6 ε

E j

l



 

.

4π

d τ

4π

τ

0 0 0

  

l

R

l l

 R 



40

Так как l = 2R/3, то

 = /(60). (3)

Произведя вычисления по формулам (2) и (3), получим

E  2,18кВ / м,   188В.

Пример 7. На тонком стержне длиной l равномерно

распределен заряд с

линейной плотностью  =10

нКл/м. Найти потенциал ,

созданный распределенным

зарядом в точке А,

расположенной на оси

стержня и удаленной от его

ближай- шего конца на расстояние l.