ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Целочисленное программирование – раздел математического программирования, рассматривающий оптимизационные задачи, в которых все или некоторые переменные могут принимать только целые значения. Как правило, требование целочисленности переменных значительно усложняет задачу. Целочисленное программирование систематически изучается с 1956 года, но и сейчас этот раздел находится в стадии развития.

6.1. Общая постановка задачи целочисленного линейного программирования (ЗЦЛП).

Мы будем рассматривать только полностью целочисленные задачи, в которых требование целочисленности наложено на все переменные. Общий вид такой ЗЦЛП отличается от ЗЛП только тем, что ко всем переменным предъявляется требование целочисленности. В частности, в каноническом виде ЗЦЛП ставится так:

(6.1)

Для ЗЦЛП используется та же терминология, что и для ЗЛП: целевая функция, допустимое решение, оптимальное решение и т.д. Если в ЗЦЛП отбросить требование целочисленности, то получится так называемая ослабленная задача. Ослабленная задача является ЗЛП, в то время как ЗЦЛП таковой не является. Дело в том, что требование целочисленности переменных нельзя записать в виде линейного ограничения. Аналитически его записать можно. Действительно, обозначим через [a] целую часть числа а, т.е. наибольшее целое, которое не больше а. Например, [3.4] =3; [-7.2]= -8. Требование целочисленности переменной x_j можно записать так: x_j -[x_j ] =0. Однако это соотношение не является линейным. Таким образом, нельзя сказать, что ЗЦЛП – частный случай ЗЛП – она вообще не является ЗЛП.

Для ЗЦЛП не существует такого универсального эффективного метода решения, каким является симплекс-метод для ЗЛП. Из точных методов решения отметим метод отсечения Гомори и комбинированный метод ветвей и границ. Суть этого комбинированного метода мы изложим.

На практике большинство ЗЦЛП решается приближенно. При этом часто приходится разрабатывать приближенный метод, учитывающий специфические особенности задачи.

Приведем примеры ЗЦЛП.