ЖУРНАЛ УЧЕТА ПОСЕЩАЕМОСТИ ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ИНТЕРНОВ

Примеры решения типовых задач

Задачи для самостоятельной работы

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле и выражений, содержащих квадратный трёхчлен.

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Волгодонск

Т.к. Þ . Проинтегрируем обе части равенства: .

Интегрирование по частям применяют, когда сложный интеграл можно заменить интегрированием более простого. Рассмотрим применение метода в следующих случаях:

1. Подынтегральная функция представляет собой произведение многочлена на показательную функцию или тригонометрическую. За u берется многочлен, за dv – оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Пример1:

= =

= = .

Пример2:

= = =

= = .

2. Подынтегральная функция представляет собой произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. За часть u нужно взять логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

Пример3:
= = = = = .

Пример4:

= = = .

3. Подынтегральная функция представляет собой произведение тригонометрической на показательную функцию. Не важно что брать за u.

Пример5:
I= = = = = .

Последний интеграл есть не что иное как исходный интеграл, поэтому можно

записать:

; ; .

4. Иногда метод интегрирования по частям приходится применять несколько раз.

Пример 6: =

= = =

=

5. Если неверно выбраны u и dv, то в результате интегрирования

получим более сложное выражение под интегралом, чем в исходном.

Пример 7: = + …,

отсюда видно, что полученный интеграл сложнее исходного.

; .

Каждый из указанных двух интегралов берется в два приема:

а) выделяется полный квадрат в квадратном трехчлене:

;

б) заменой исходный интеграл сводится к табличным интегралам.

Пример8: Найти неопределенный интеграл.

.

Решение:

Выделим сначала полный квадрат из квадратного трехчлена: ; Затем проведем замену переменных, положив и .

Тогда

Каждый из интегралов вычислим отдельно:

=

Здесь мы сделаем замену переменных, положив (тогда и ):

=

Окончательно получим

Пример 9: Найти неопределенный интеграл.

Теоретические вопросы для самопроверки.

1. Всегда ли интегрирование по частям приводит к взятию интеграла?

2. Что рационально взять за u , а что за dv ?

3. Как выделить полный квадрат и зачем это нужно?

1) Выделение полного квадрата:

а) ; б) ; в)

2) Интегрирование по частям:

а) ; б) ; в) .

1. Выделение полного квадрата

Пример 1. Найти .

Решение: = = = = =

2. Интегрирование по частям

Пример 2. Найти .

Решение:

ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ ____________________________________________

НА КАФЕДРЕ _____________________________________________________________________

НАЧАТ______________

ОКОНЧЕН___________

(следующие страницы)