Послідовність розв’язання задачі визначення умов

Обґрунтування методу аналітичної ієрархії

У методі аналітичної ієрархії порівнюють пари елементів задачі попарно щодо їх впливу (дії, ваги, інтенсивності) на спільну для них характеристику. Якщо В = {Bv В2, ..., Вп} - множина елементів (об’єктів, дій), a W = {wit w2 wnj — відповідно їх ваги, чи інтенсивності, то елементи матриці їх порівняльних важливостей А визначають за формулою ач = wjw}. Якщо множина W невідома, то пари елементів порівнюють, виходячи із суб’єктивних тверджень, що оцінюються за певною шкалою, і за цими даними знаходять цю множину.

Припустімо, що ці п об’єктів wb w2, ..., w„ оцінюють експерти, які висловлюють твердження щодо їх відносної важливості. Процес отримання тверджень повинен забезпечувати можливість кількісної інтерпретації тверджень для всіх об’єктів, тобто отримання з кількісних тверджень групи експертів множини ваг, що асоціювалися б з окремими об’єктами та відображали кількісні твердження групи експертів. Кількісні твердження описуються матрицею А. Оскільки треба оцінювати відносні важливості, то виконується умова

V(i, j = 1, п) : ((а,, = 1) а (ал = 1 /щ) а (щ > 0)), (5.1)

і матриця має вигляд

<2і2 ... а\„

1/<2і2 1 ••• 0-2 п

_1 / а1п 1 / о,2п ... 1

Після отримання кількісних тверджень про пари (В„ Bj) у числовому вигляді a{j потрібно кожному елементу множини В = {Ви В2, ..., В„} поставити у відповідність числові ваги, чи пріоритети.

Формалізуємо нечітко висловлену умову, щоб ваги відображали кількісні твердження групи експертів, тобто опишемо у точних термінах, як ваги wt залежать від тверджень а{у Ідучи за Т. Сааті, розв’язання задачі визначення умов, накладених на ваги щодо отриманих тверджень, викладемо в три етапи, починаючи від часткового випадку в напрямку до загального.

Етап 1. Припустімо, що твердження - це результати точних фізичних вимірювань. Нехай ми вимірюємо ваги предметів Вь В2, ..., Вп, порівнюючи пари предметів В{ та 5,

і обчислюючи at] = wjwj як відношення ваг предметів. Отже, матриця А має вигляд

W\/W\ W\/W2 ... W\ / w„

W2/W1 W2/W2 ... w2/w„

Л —

_w„/wi Wn/W2 ... wn/w„_

Однак точне виконання цих умов неможливе, тому що фізичні вимірювання не абсолютно точні, і слід якось ураховувати відхилення, до того ж людські твердження є неточними.

Етап 2. Встановимо допуски на відхилення. Розглянемо і-й рядок матриці А - (ап, аІЬ ..., ау, ..., ат). В ідеалі він мав би бути еквівалентний рядку відношень {wjws, wjwb ..., wjwp ..., wjwn). Помноживши кожний j-й елемент цього рядка на wJt отримаємо (wjw,) да, = w,, (wyw2) w2 = wt (wjwn) wn = щ, тобто тоді ми б одержали рядок однакових елементів w{, хоча це мав би бути рядок елементів зі статистичним розкидом значень навколо w{.

У цьому випадку доцільною була б вимога рівності елемента wt середньому з цих значень, і замість співвідношення a{j = w1/wJ чи wt =atj w} для ідеального випадку використовувати рівності

п

Wi =-У a,jWj (і, j - 1, п). пМ

Проте й ця умова недостатня для існування розв’язку задачі визначення однозначних ваг Wj для заданих atj.

Етап 3. У якісних оцінках значення елемента аі} наближається до wjw}, тому є малим збуренням відношення. Оскільки at] змінюється, то відповідний розв’язок отримаємо, якщо змінюватиметься п. Позначивши це значення як Хтзх, урешті-решт одержимо остаточний варіант задачі знаходження ваг у вигляді

\ я

Wi = Yj a'iW) j = l’ ”)•

^max j--1

Це добре відома в теорії матриць задача про власне значення, розв’язання якої базується на кількох теоремах, формулювання яких ми розглянемо нижче.

Загалом у цій задачі відхилення ау значень елементів можуть зумовити значні відхилення ваг Х,шах та однак для обернено симетричних матриць існує стійкий розв’язок.

У матричному формулюванні ідеальному випадку відповідає співвідношення Aw = nw, де А - узгоджена матриця, а обернено симетрична матриця А' являє собою збурення матриці А. Тому виникає потреба в розв’язуванні задачі A'w' - А.тах<®', де Хпах _ максимальне власне значення матриці А'.

У разі ієрархічного подання проблем матрицю складають для порівняння відносної важливості критеріїв другого рівня відносно загальної мети першого рівня (кореня ієрархії), а потім будують такі ж самі матриці попарних порівнянь наступного рівня відносно елементів попереднього. Отже процес побудови матриць попарних порівнянь за допомогою опитування експертів здійснюється «згори донизу» (це так званий прямий хід), хоча, звичайно, можна робити це й в оберненому порядку, однак доцільно спочатку порівнювати найважливіші аспекти, які в ієрархії розташовані вище.

Перевіримо, чи можна на основі цих тверджень побудувати повну матрицю попарних порівнянь. Серед порівнянь немає симетричних, тобто якщо елемент а порівнюють з елементом Ь, то немає жодного твердження, у якому б елемент b було б порівняно з елементом а. Якщо є такі твердження, то їх уважають одним твердженням, а пряму оцінку такого порівняння обчислюють як середнє геометричне прямої й оберненої до оберненої оцінок. Оскільки незалежних стосовно симетрії тверджень шість, і потрібно их(я-1)/2 = 4х(4-1)/2 = 6 порівнянь, то матрицю попарних порівнянь можна побудувати повністю.

Побудуємо матрицю, у якій рядки та стовпці відповідають моделям А, В, С, та D. Оскільки об’єкт рівноважливий сам до себе, то на головній діагоналі будуть 1. Потім заповнимо матрицю парами елементів, симетричних відносно головної діагоналі; вони відповідають твердженням експерта. Відповідно до твердження 1 за шкалою відносної важливості МАІ азі = 3, аіз = 1/3., а відповідно до твердження 2 агз = 1 / 3, <232 = 3. Продовживши аналіз тверджень експерта, отримаємо матрицю А попарних порівнянь

'1 3 1/3 7"

А_ 1/3 1 1/3 З З 3 18'

1/7 1/3 1/8 1_

Природно виникає запитання: чому в шкалі відношень обрано значення від 1 до 9? Для цього є декілька причин.

Якісні відмінності є значимими на практиці та достатньо точні, якщо порівнювані величини - одного порядку.

Здатності людини якісно розрізняти добре відповідають п’ять визначенних ступенів переваги: рівність, слабка перевага, сильна, дуже сильна й абсолютна. Коли потрібна більша точність, використовують проміжні значення, тому загалом потрібно дев’ять значень.

Такій кількісті точок відповідає психологічна межа 7 ± 2 предмети для одночасного порівняння.

Натомість використовувати шкалу попарних порівнянь у діапазоні від 0 до недоцільно, тому що людина не в змозі оцінити відносну перевагу для будь-яких двох об’єктів. Із дослідів добре відомо, що здатність людини розрізняти об’єкти є невеликою, і якщо об’єкти суттєво неспівмірні, то твердження довільні та далекі від дійсності. Порівнюючи пари елементів, запитання доцільно формулювати наступним чином.

Який із двох варіантів важливіший?

Котрий із них імовірніший?

Який із двох варіантів має більшу перевагу?

Для більшості застосувань запитання зазвичай належить до однієї з цих категорій. Порівнюючи критерії, найчастіше питають, який із них важливіший; у разі порівняння альтернатив за критеріями — яка альтернатива бажаніша; коли порівнюють сценарії, отримані з критеріїв, — який зі сценаріїв імовірніший.

Якщо важко розрізнити, стільки існує проміжних градацій, то можна застосовувати шкалу з меншою кількістю градацій.

Гранично шкала має дві градації: 1 — об’єкти рівнозначні; 2 — один об’єкт переважає інший.

Для нас локальне завдання — визначити «ваги» нащадків W = {ж,, w2 wn) відносно всіх вершин ієрархії (крім листя). Звичайно, було б ідеально, якби особа, яка приймає рішення, чи експерт могли безпосередньо визначити ці ваги. Однак, на жаль, це можливо лише для найпростішої ситуації, коли є лише два елементи. Якщо ж елемен- тів-нащадків більше ніж три, то виникають суттєві складнощі, оскільки твердження експерта суперечливі та дуже ненадійні, що зумовлено психологічними особливостями людини-експерта. Експертові значно простіше порівнювати пари нащадків між собою, ніж відразу присвоювати їм певні значення «ваг», які відображають вкладення того чи іншого елемента-нащадка в елемент-предок. Тому варто застосовувати метод попарних порівнянь, тому що одержану за його допомогою інформацію надалі можна використовувати для отримання «ваг» і оцінювання послідовності тверджень експерта.

Формування локальних пріоритетів

На цьому кроці формують локальні пріоритети на основі матриць попарних порівнянь, які відображають відносний вплив множини елементів наступного рівня на безпосередній елемент-предок. Змістовно цьому відповідає оцінювання бажаності, сили впливу, цінності чи ймовірності для кожного окремого об’єкта-нащадка відносно його безпосереднього предка.

Локальні пріоритети отримують, визначивши множину головних власних векторів для кожної з обернено симетричних матриць ієрархії та нормалізувавши результат.

Головний власний вектор х = (л^, х2 хп) додатної квадратної матриці А обчислюють на підставі рівності Ах = Хпглхх, де А.тах — максимальне власне значення матриці А.

Для додатної квадратної матриці А правий власний вектор х, що відповідає максимальному власному значенню Хшах, обчислюється з точністю до постійного множника за формулою

Аке

hm -=—7— = сх, е А е

де k = 1, 2, ... — показник степеня; е = (1,1,..., 1)т — одиничний вектор; с — константа. Т — знак транспонування. Власний вектор визначається за цією формулою до досягнення допустимої точності обчислень є, заданої співвідношенням е lxw - дг(*+1)І < є, де k — номер ітерації. Із достатньою для практики точністю можна вважати, що є = 0,01 незалежно від порядку матриці А. Теореми, що обґрунтовують цю формулу, наведено в наступному параграфі.

Максимальне власне значення обчислюють за формулою Я.тах = етАх. За наведеними співвідношеннями можна побудувати ітераційний алгоритм, що обчислює головний власний вектор матриці попарних порівнянь.

Хоча одержання власних векторів не становить проблеми (для цього можна використати відповідний математичний пакет, наприклад Mathcad), можна наближено обчислювати пріоритети простішим способом — визначаючи середнє геометричне рядків матриці попарних порівнянь А з подальшою нормалізацією всіх складових отриманого вектора за формулою

Отриманні значення власного вектора х = (хи х2, х„) використовують для подальших обчислень.

Оцінювання послідовності тверджень експерта

Як ми вже зауважували, кількісна (кардинальна) та транзитивна (порядкова) однорідність (узгодженість) у практичних задачах порушується, тому що експерт оцінює переваги, порівнюючи пари елементів, а тому рівність що мала б виконува

тися для всіх і, j, k, порушується. Що більші ці порушення, то менше ми можемо довіряти результатам опитування експерта. Це свідчитиме насамперед про суперечливість тверджень експерта, яка, можливо, спричинена його некомпетентністю в даній предметній області.

У разі порушення однорідності ранг матриці попарних порівнянь відмінний від 1, і вона має декілька власних значень, а з умови оберненої симетричності випливає невід’ємність усіх компонентів головного власного вектора. Однак за невеликих порушень однорідності тверджень одне з власних значень може бути істотно більшим за інші та приблизно дорівнюватиме порядку матриці. Отже, для оцінювання однорідності тверджень експерта доцільно використати відхилення максимального власного значення А,тах від порядку матриці п.

Отримана в результаті опитування експерта матриця неузгоджена, тобто відображає певну непослідовність його тверджень. Для оцінювання неузгодженості використовується індекс узгодженості, що надає інформацію про ступінь порушення числової та транзитивної (порядкової) узгодженості. Його обчислюють за формулою

j _ 7=1 ^ і=1 _ А,тах 77

и ~ 4 ~ 4 »

П-1 П-1

тут Хтах = YJ{Xj J.

j=1v ;=i /

Обчислений індекс Iu порівнюється зі значенням, одержаним за умови випадкового вибору кількісних значень зі шкали 9, 8, 7, ..., 1/8, 1/9 зі збереженням умови оберненої симетричності випадкової матриці. Середні значення для випадкових матриць різного розміру наведено нижче (табл. 5.2).

Таблиця 5.2. Значення індексу узгодженості для випадкових матриць

Відношення узгодженості є часткою від ділення індексу узгодженості на відповідне значення випадкової узгодженості І0 = IJM(IU).

Якщо отримане значення менше ніж 10 %, то рівень узгодженості можна вважати задовільним. Інколи можна обмежитися 20 %.

Узагальнимо поняття індексу узгодженості на всю ієрархію. Значення індексу узгодженості, одержане з матриці попарних порівнянь, потрібно помножити на пріоритет властивості, якої стосувалося порівняння, і до цього числа додати аналогічні результати для ієрархії загалом. Після цього отримане значення слід порівняти з відповідним значенням індексу, яке дорівнює сумі випадкових значень (табл. 5.2), зважених за відповідними пріоритетами. Значення для всієї ієрархії теж обмежене 10 % - 20 %.

Рис. 5.2. Ієрархія критеріїв і альтернатив

На основі цих матриць обчислено вектор локальних пріоритетів складових критеріїв відносно фокуса Q - (0,32, 0,14, 0,03, 0,13, 0,23, 0,14) — і відповідне значення індексу узгодженості IU(Q) = 0,298, а також значення індексів узгодженості для складових критеріїв, що становлять відповідно (0,025, 0,000, 0,000, 0,105, 0,000, 0,025). Потрібно обчислити значення відношення узгодженості І0 для всієї ієрархії.

Згідно з викладеним вище способом обчислення значення індексу узгодженості для ієрархії становить

f0,025^

Іи = 0,298 + (0,32; 0,14; 0,03; 0,13; 0,23; 0,14) = 0,323.

,0,025,

Зважаючи на те, що розмір матриці при фокусі становить 6 х 6, а матриці на рівні складових кри: теріїв мають розмір 3x3, відповідні значення випадкової узгодженості згідно з табл. 5.2 становлять 1,24 і 0,58. Тому значення випадкової узгодженості для ієрархії

М(Іи) = 1,24 + (0,32, 0,14, 0,03, 0,13, 0,23, 0,14) х (0,58, 0,58, 0,58, 0,58, 0,58, 0,58)т = 1,82

Значення відношення узгодженості дорівнює І0 = IJM(IU) = 0,18. Це не найкращий результат, але він вкладається в межі 20 %.

Властивості власних значень матриць попарних порівнянь у методі аналітичної ієрархії

Матриці попарних порівнянь, що використовуються в МАІ, є додатними обернено симетричними, що випливає з процедури опитування експерта-децидента. Отже, для елементів цих матриць завжди виконується умова (5.1), що дає змогу отримати важливі з практичної точки зору теоретичні результати.

Обернено симетричні матриці попарних порівнянь не містять нулів, тому вони незві- ДНІ.

Приклад 5.2. Визначення узгодженості для ієрархії загалом

Унаслідок попарного порівняння трьох альтернатив за шістьма критеріями та шістьох критерії за важливістю їх впливу на генеральну мету отримано шість матриць розміром 3x3 для нижнього рівня ієрархії та одну матрицю розміром 6x6 для фокусу ієрархії (рис. 5.2).

Означення 5.1. Квадратна матриця є незвідною, якщо вона не може бути подана у наступному вигляді шляхом перестановки рядків і стовпців

"Л, 0'

_А2 Аз_

де А, і А2 - квадратні матриці, 0 - нульова матриця.

Комплексна матриця А незвідна тоді й лише тоді, коли її орієнтований граф D(A) є сильно зв'язним. Наведені нижче теореми відомі з теорії матриць, а тому розглянемо їх без доведень.

ТЕОРЕМА 5.1. Квадратна матриця або незвідна, або може бути зведена за допомогою перестановки індексів до матриці

' Л, 0 ••• 0 0 0'

Л2 ••• 0 0 ••• 0

0 ••• Ak 0 0

Ак+і,і Ak+1,2 Ak+i,k Ak+1 ••• 0

Ami Afn2 ••• Amk Amk+x ••• Лш_

яка містить блок-діагональну матрицю з матрицями Л,, що не можуть бути зведені, на діагоналі. При цьому принаймні одна матриця з подвійним індексом у кожному рядку, у якому вони з’являються, є нульовою.

ТЕОРЕМА 5.2. (Перона - Фробеніуса). Нехай Л ^ 0 - незвідна матриця. Тоді вона має дійсне додатне просте (тобто не кратне) власне значення Х,тах, що не менше за модулем, ніж будь-яке інше власне значення матриці Л (деякі з яких можуть бути комплексними числами). Власний вектор матриці А, що відповідає власному значенню має додатні компоненти та єдиний з точністю до постійного множника. Число А.тах (його іноді називають коренем Перона матриці Л) задовольняє умову

л (Ах)і (Аг),

Лщах = шах min = min max -——,

х^О і^і^п Хі

для довільного X ^ 0 .

Наслідок. Нехай А ^ 0 - незвідна матриця, а х ^ 0 - довільне. Тоді для кореня Перона виконується умова

(Аг), (Ах)і

■ min -—— 5¾ Amax ^ max -——.

Хі Хі

Коли ж матриця додатна, значення А.тах є строго більшим за модулі всіх інших власних значень.

Доведення теореми Перона спирається на такі факти про додатні (пхп) матриці:

Нехай Л - додатна матриця розміром пхп, & ХПГіа - її найбільше власне значення. Тоді справедливі наступні твердження.

Значення ^max обмежене згори та знизу відповідно максимальною та мінімальною сумами за рядками матриці А. Отже, якщо А - стохастична матриця, тобто якщо суми її елементів у рядках дорівнюють 1, то Хтях = 1.

Для стохастичної матриці А виконується рівність lim Ак = ev, де v - додатний век-

п *->“

тор-рядок, V - (vi, 1>2, .... V„), £ Vi = 1, Є = (1, 1 1)Т.

Для додатної матриці А існує додатне число X, ненульовий вектор-рядок v та нену- льовий вектор-стовпець w такі, що

Ак

ІІШ —г - WV.

*-*- Хк

де X - найбільше власне значення матриці А. Воно називається головним власним значенням, a w та v — головними власними векторами, які єдині з точністю до постійного множника.

Вектор w ортогональний до всіх неголовних власних векторів-стовпців, a v - до всіх неголовних власних векторів-рядків.

Якщо A.J - найбільше власне значення матриці А, до того ж Хі -£ Xj, (z, j = 1, п, і Ф j), a wi - правий власний вектор, що відповідає власному значенню то

Ак

ІІШ _ , = CWi.

*->- е Л е

Це твердження справедливе й тоді, коли А ^ 0, Ар > 0, р > 0.

ТЕОРЕМА 5.3. Якщо А - невід’ємна незвідна матриця, то власне значення Хтзх зростає зі збільшенням будь-якого елемента ау.

Означення 5.2. Невід’ємна незвідна матриця А, називається примітивною тоді й лише тоді, коли існує таке ціле число т ^ 1, що Ат > 0, у протилежному випадку цю матрицю називають імпримітивною.

Отже, у графі примітивної матриці довжина шляху між будь-якими двома вершинами є не меншою ніж т. Відомо, що невід’ємна незвідна матриця А, примітивна тоді й лише тоді, коли вона має єдиний характеристичний корінь із максимальним модулем,

і кратність цього кореня дорівнює 1.

ТЕОРЕМА 5.4. Для примітивної матриці А справедливе співвідношення

Ііш ї^-^7 = cw, IU* II = ет Аке,

де с — постійна, aw — власний вектор, що відповідає власному значенню Хтш = Xt.

На використанні теореми 5.4. ґрунтується обчислення головного власного вектора. Згідно з нею нормалізовані суми рядків степенів примітивної (а отже, додатної) матриці гранично наближаються до значення потрібного власного вектора. Тому існує простий обчислювальний спосіб одержання цього вектора. Він полягає в тому, що на кожному кроці поточну матрицю підносять до квадрата, а потім обчислюють і нормалізують суми елементів у рядках. Обчислення припиняють, коли різниця між цими сумами у двох послідовних ітераціях стане меншою, ніж заздалегідь задане значення.