Мера предпочтительности
Экспертные оценки при построении функций предпочтительности
Методы получения и обработки экспертных оценок
См. материал практической работы №1
В практической деятельности мы непрерывно сталкиваемся с решением задачи выбора. Осуществляется ли выбор одной системы из нескольких, имеющих одинаковое назначение, или выбор конкретной подсистемы (узла, элемента) дайной системы, или осуществляется выбор одного из нескольких возможных путей достижения определенной цели всегда происходит фактическое упорядочение сравниваемых альтернатив (объектов) по их предпочтительности. Такое упорядочение часто носит качественный характер. Однако в принципе каждому из сравниваемых объектов можно поставить в соответствие некоторое число — меру предпочтительности. Таким образом, более предпочтительному объекту будет соответствовать большее число, т. е. производить упорядочение на основе количественных сопоставлений. Для большинства технических систем мера предпочтительности может быть вычислена по значениям характеристик объекта. В этом случае должно быть установлено правило, по которому каждому набору значении характеристик объекта ставится в соответствие число, отражающее предпочтительность этого объекта по сравнению с аналогичными, предназначенными для этой же цели. Установить такое правило — значит построить некоторую функцию характеристик, которую в дальнейшем будем называть функцией предпочтительности. Использование функции предпочтительности позволяет решать целый ряд важных технических задач.
Во-первых, собственно задачу выбора одного объекта из совокупности объектов, имеющих одинаковое функциональное назначение по результатам количественного сопоставления. Один объект лучше другого, если для первого функция предпочтительности принимает большее значение, чем для второго.
Во-вторых, решение задач планирования НИР и ОКР, ведущихся при разработке или при совершенствовании объекта на основе количественных сопоставлений. Для данного перечня работ наиболее важной с точки зрения совершенствования объекта является та, которая обеспечивает наибольшее приращение функции предпочтительности. Работа с точки зрения совершенствования объекта является бесполезной, если она не увеличивает функции предпочтительности. Сопоставление оценок предпочтительности работ с оценкой сроков их проведения и затрат на их выполнение может дать полезную информацию для планирования НИР и ОКР.
В-третьих, решать задачи оптимального выбора численных значений характеристик объекта. Если построена функция предпочтительности для данного класса объектов, то можно решать задачу отыскания наилучшего сочетания численных значений характеристик, для которого функция предпочтительности достигает своего наибольшего значения. В этой задаче на область допустимых значений характеристик могут быть наложены ограничения, продиктованные физическими и техническими соображениями, также ограничения, задаваемые требованиями на объект. В настоящее время не существует общей теории, позволяющей установить характер зависимости меры предпочтительности от параметров объекта. Поэтому в дальнейшем мы будем исходить из предположения, что эта зависимость носит линейный характер. Такое предположение является достаточно разумным, так как неизвестную функцию предпочтительности можно представлять себе как разложение в ряд Тэйлора, в котором линейные члены будут давать хорошее приближение к функции предпочтительности при достаточно малом изменении характеристик.
На первом этапе построения функции предпочтительности производится выявление существенных характеристик объекта, значения которых учитываются при принятии решения в соответствующей задаче выбора. Кроме того, эти характеристики должны обладать следующими свойствами:
* измеримостью, т. е. все характеристики, входящие в набор, должны допускать описание, чтобы имело смысл однозначное количественное«числовое описание характеристики»;
* полнотой, т. е. набор должен охватывать все существенные характеристики;
* независимостью, т. е. в наборе не должно быть характеристик, значения которых однозначно определяются значениями других характеристик набора.
Второй этап построения функции предпочтительности состоит в формулировании различных точек зрения, которые принимаются во внимание при решении задачи выбора. Каждая точка зрения на предпочтительность характеризует объект с определенной стороны,. т. е. описывается группой параметров из выявленного на первом этапе набора существенных характеристик. В результате весь набор характеристик объекта будет разбит на непересекающиеся группы однородных характеристик, причем каждая группа должна содержать все существенные характеристики, полностью определяющие данную сторону объекта. Число характеристик в группе и число групп не должно быть слишком большим (не более 6—7). Из-за психофизиологических особенностей человеческого мозга одновременное рассмотрение большого числа однородных факторов является затруднительным. Если число характеристик в группе велико, то их целесообразно разделить на две подгруппы с общим базовым элементом и рассматривать каждую подгруппу порознь. Каждой группе характеристик соответствует свой частный критерий, характеризующий предпочтительность объекта с одной лишь точки зрения. Этот критерий принимается линейной функцией частных критериев. Неизвестные коэффициенты линейных форм определяются на основе экспертных оценок.
Определение коэффициентов линейной формы для частного показателя К
Рассмотрим одну группу характеристик и обозначим эти характеристики через x1, x2, ..., xn. Это, вообще говоря, числа различной физической размерности. Выберем среди рассматриваемых систем одну в качестве опорной и введем безразмерные величины
y1=x1/ х°1 ... yn=xn/ х°n
где х°1, х°2, х°3,..., х°n — соответствующие характеристики опорной системы. Тогда частный критерий, соответствующий данной группе характеристик, будет иметь вид
K = a1y1 + a2y2 +...+anyn
Коэффициенты ai в этой формуле пропорциональны степени влияния изменения значений соответствующей характеристики на решение в задаче выбора, т. е. характеризуют вес этого изменения при принятии решения åai = 1. Критерий К для базовой системы принимается за 1, т. е. К = 1 при xi = х°i, и оценка влияния изменения параметров производится относительно базовой системы. При изменении параметров системы по сравнению с базовыми происходит изменение показателя К. Если увеличение К. происходит при увеличении параметра, то соответствующий коэффициент ai, в линейной форме для приращений берется со знаком «+», и, наоборот, если показатель К убывает при увеличении параметра, то коэффициент ai берется со знаком «—». Пусть, например, при увеличении yi величина К убывает. Тогда для любой системы, отличающейся от базовой, приращение показателя К будет иметь вид
DK = a1Dyi + a2Dy2 +....- aiDyi +...+anDyn
Численные значения коэффициентов аi, должны удовлетворять условию нормировки åai = 1 и определяются на основе экспертного опроса. На первом этапе экспертного опроса производится упорядочение характеристик уi по степени их влияния на показатель К. Процедура упорядочения производится в строгом соответствии с изложенными выше методическими положениями. На втором этапе производится количественная оценка степени влияния каждого параметра yi на показатель качества, выраженная в долях наименее весомого параметра. В общем случае для определения показателя К может существовать формализованная модель, связывающая величину К с численными значениями части параметров х,. Модели могут быть как аналитическими, так и имитационными (аналоговыми или цифровыми). При изменении характеристики уi на величину Dуi с помощью такой модели определяется величина приращения показателя DKi, а при изменении уj на величину Dуj приращения показателя — DKj. Тогда важность изменения характеристики уi, можно охарактеризовать числом ui = DKi / Dyi, а уj— числом uj = DKj / Dyj. Следовательно, важность изменения характеристики yj, выраженная в долях величины yi, состоит
yj = DKj / DKi *Dyj / Dyi*yi
Пусть, например, yi наименее весомый параметр в данной группе. При изменении yi на величину Dуi = 0,05 показатель Ki изменился на величину DKi = 0,01, а при изменении уj на величину Dyj == 0,07 показатель Kj изменился на величину DKj =0,1. Тогда уj = 0,14 уi.
Если показатель К носит качественный характер или не существует формализованной модели, связывающей показатель К со всем набором параметров данной группы, то численная оценка весомости каждого параметра производится экспертами эвристически. Смысл понятия «весомее» поясняется следующим примером. Предположим, что два автомобиля различаются двигателями. Первый автомобиль имеет двигатель мощностью N и стоимостью С. Другой аналогичный автомобиль имеет мощность N + DN. При этом стоимость автомобиля возросла и стала С + DС. Для покупателя существует некоторое граничное значение DСо. Если DС <DСo, то он готов купить второй автомобиль; если DС > DСo, то он покупает первый автомобиль. Это значит, что важность параметров N и С покупатель распределил в отношении
DCo / DNo, т.е. N = DCo*C / DNo
Итак, если показатель К выражается качественно, то распределение весомости относительного изменения характеристик опирается на опыт и интуицию экспертов. В том случае, когда частный показатель К выражается количественно и может быть вычислен тем или иным способом, то распределение весомости параметров целесообразно производить на основе численных значений показателя К.
Пусть, например, группа состоит из четырех характеристик y1, y2, y3, y4. В результате работы с экспертами получен следующий порядок весомости этих характеристик при определении показателя К: y2 > y1 > y4 > y3
В долях величины у3 получены следующие количественные оценки весомости
Характеристика y3 y4 y1 y2
Весомость 1 1.5 2 3.5
Коэффициенты аi определяются по результатам вычислений:
a3 = 1/8 = 0.125
a4 = 1.5/8 = 0.178
a1 = 2/8 = 0.25
a2 = 3.5/8 = 0.438
Показатель K увеличивается при уменьшении параметра у3 и при увеличении всех остальных параметров. В результате получим
DK = 0.25Dy1+0.438Dy2 - 0.125Dy3+0.187Dy4
Полученное выражение определяет приращение показателя качества при отклонении численных значений параметров системы относительно базовых.
Определение коэффициентов линейной формы для функции предпочтительности
Понятие предпочтительности — обобщенная характеристика качества системы. Функция предпочтительности объединяет точки зрения при решении задачи выбора и позволяет получить единую количественную оценку при сравнении различных систем. В дальнейшем функция предпочтительности строится как линейная форма частных критериев
П = b1K1 + b2K2 + ...+bmKm
Определение коэффициентов bi осуществляется экспертными методами. Каждый частный критерий соответствует определенной точке зрения на предпочтительность системы, определенному способу оценки «лучше» или «хуже» при сравнении различных систем. Численные значения коэффициентов bi характеризуют, насколько важен учет соответствующей точки зрения при выборе по сравнению с каждой другой точкой зрения. При изменении частных показателен качества (например, при изменении параметров системы) происходит изменение показателя предпочтительности П по сравнению с базовым. Если величина П увеличивается при увеличении К, то соответствующий коэффициент bi в формуле для приращений берется со знаком плюс и при уменьшении величины K, со знаком минус. Пусть, например, уменьшение Ki увеличивает показатель П. Тогда
DП = b1DK1 + b2DK2 + ...- biDKi +...+bmDKm
Как и в предыдущем случае, экспертами сначала выполняется работа по упорядочению частных критериев К. по их важности. Пусть, например, установлена следующая групповая оценка порядка важности среди четырех частных критериев Ki
K1 > K3 > K4 > K2
В долях величины Кi получены следующие количественные оценки важности:
Показатель K2 K4 K3 K1
Важность 1 2.3 2.7 4.0
Коэффициенты bi будут иметь следующие численные значения:
b2 = 0.1 b4 = 0.23 b3 = 0.27 b1 = 0.4
Если увеличение показателя K3 уменьшает величину П, то коэффициент b3 в формуле для приращений берется со знаком минус:
DП = 0.4DK1 + 0.1DK2 - 0.27DK3 +0.23DK4
Установленная, таким образом, мера предпочтительности является основным количественным показателем при решении задачи выбора, объединяющим различные точки зрения (часто противоречивые) на преимущества различных технических систем друг перед другом.
Векторная оптимизация технического решения
В последнее время для анализа сложных систем и оценки их эффективности применяют теорию векторной оптимизации. В отличие от скалярной оптимизации, при которой оптимизируемая функция характеризуется единственным показателем, при векторной оптимизации система описывается вектором показателей качества. Очевидно, что определение эффективности системы с учетом множества основных показателей должно обеспечить наиболее объективную оценку принимаемых решений. Необходимо, однако, отметить, что к настоящему времени теорию векторной оптимизации нельзя считать завершенной. Трудности, которые встречаются в ее разработке и применении, обусловлены самой сущностью проблемы. Это вызвано сложностью сравнения векторов. В общем случае, сложная система характеризуется совокупностью показателей качества {Кi}, i=1, n. Эту совокупность представим в виде вектора, т. е. упорядоченного множества переменных К — <K1,K2,...,Kn>. Так как компоненты вектора К представляют собой числа, то очевидно, что проблема сравнительного анализа эффективности различных систем будет связана с проблемой упорядочивания чисел. Будем считать, что сравниваемые системы с номерами i и j характеризуются векторами Ki=<K1, К2, ..., Кm>, Kj=<K/1,K/2,...,K/n>.При одинаковых размерностях векторов, т. е. при n = m, наиболее эффективную систему выбирают в соответствии с критерием Парето:
если "l = 1, n Kl ³ K/l, то и Кi ³ Кj
если "l = 1, n Kl £ K/l, то и Кi £ Кj
если "l = 1, n Kl = K/l, то и Кi = Кj
Иначе говоря, если при сравнении векторов одинаковой размерности все компоненты одного вектора не меньше (не больше) или равны компонентам другого вектора, то и сами векторы соответственно не меньше (не больше) или равны один другому. Если некоторые компоненты вектора Ki превышают компоненты вектора Кj а другие компоненты Ki меньше компонентов Kj, то такие векторы считают несравнимыми. Данный метод сравнения векторов имеет следующие недостатки: — нельзя сравнивать векторы неодинаковой размерности; — даже векторы одинаковый размерности могут быть несравнимыми. При векторной оптимизации систем применяют также методы, основанные на сравнении некоторых характеристик, производных от векторов. Один из подобных методов основан на сравнении норм (длин) векторов. Норма конечномерного вектора определяется по формуле
|| K || = (SKi2)1/е
где е—основание натуральных логарифмов. Если || Ki || < || Kj || то и Кi < Кj. При следующем методе сравнивают линейные формы векторов
Ф(К) = SPiKi
Pi — некоторые заданные числа, представляющие весовые оценки составляющих Кi, i = 1, n вектора К. Если Ф(Кi)>Ф(Кj),то Кi > Кj. К недостаткам методов сравнения векторов, основанных на применении норм и линейных форм, отнесем:
потерю информации «о вкладе» каждого из компонентов вектора в норму или линейную форму;
трудности, возникающие при выборе и обосновании весовых оценок в линейной форме.
Достоинством методов является то, что при их использовании векторы всегда линейно упорядочены, так как их сравнивают по результирующим показателям, представляющим линейно упорядоченные числа.
Следующим направлением анализа рассматриваемой проблемы является переход от решения векторных к скалярным. К методам скаляризации векторных задач относятся: перевод всех показателей качества, кроме одного, в разряд ограничений; введение показателя эффективности; минимаксный и др. Следует заметить, что имеется несколько различных толкований сущности проблемы оценки эффективности принимаемых решений по нескольким показателям качества. При одном из подходов анализируют векторные задачи оптимизации. Он характерен, например, для ситуаций, когда результирующая целевая функция формируется из множества технических показателей. Такой подход применим при построении и анализе формальных моделей без достаточного учета экономических показателей систем. При втором подходе к показателям качества, из которых формируется результирующий критерий эффективности, относят преимущественно экономические показатели: капитальные вложения, себестоимость продукции и т. д. Такой подход применим при экономических исследованиях. В чем же различие указанных направлений решения задач оптимизации технических систем? При первом подходе необходимость векторной оптимизации очевидна, во втором—она не всегда применима, так как изменения технических параметров находят свое выражение в стоимостных показателях. Например, повышение надежности аппаратуры обеспечивает экономию эксплуатационных расходов. Увеличение дальности связи позволяет снизить мощность передающих устройств и как следствие их стоимость, и т. д. Таким образом, в результате технико-экономического анализа во многих случаях результирующий критерий эффективности может быть представлен в стоимостном выражении. При этом задачи оптимизации систем удается представить в скалярной форме. В общем случае можно утверждать, что задачи оптимизации сложных систем являются векторными (хотя в ряде случаев они могут быть решены скалярными методами). Это утверждение базируется на том, что не все составляющие эффекта и затрат могут быть представлены и стоимостном выражении. К таким составляющим можно отнести: научные знания, уровень медицинского обслуживания, людские ресурсы, воздействие функционирования систем на окружающую среду и др. Многие из показателей качества противоречивы, так что улучшение отдельных показателей может привести к ухудшению остальных. Например, улучшение условий труда обслуживающего персонала во многих случаях связана с дополнительными затратами. Возникают задачи отыскания компромиссных решений с учетом нескольких целевых функций при наличии ограничений на ресурсы, условия эксплуатации и т. д. Можно показать, что технико-экономический подход рассматриваемой проблеме во многих случаях позволяет значительно уменьшить размерность векторных задач оптимизации. Допустим, что система характеризуется множеством М показателей качества. Выделим в этом множестве два подмножества: показатели эффекта системы Мэ, и показатели затрат Мw. При этом будут выполняться условия
М = Мэ È Мw
Мэ Ç Мw = Æ
т.е. множество М включает все показатели, относящиеся к подмножествам Мэ и Мw, а пересечение указанных подмножеств является пустым. Будем считать, что сравнительная оценка эффективности систем с номерами i и j и осуществляется на основе принципа минимума затрат. при этом выполняются соотношения
Мэi ¹ Мэj Мwi ¹ Мwj
т е. системы i и j отличаются как по эффекту, так и по штрафам. Приведя варианты в сопоставимый вид по эффекту (например, обеспечив равенство Мэi = Мэj), придем к необходимости сравнивать векторы показателей затрат M*wi и M*wj. Очевидно, что число показателей сравниваемых систем, приводимых в сопоставимый вид, M*wi и M*wj меньше числа показателей, которые включают исходные множества. В частном случае, который часто встречается на практике, может оказаться, что M*wi и M*wj составляют единственный показатель (например, приведенные годовые затраты системы).
При использовании принципа максимума эффекта сравниваемые системы приводят в сопоставимый вид по затратам (например, добиваясь выполнения равенства Mwi = Mwj). В данном случае задача сводится к сравнению совокупностей показателей эффекта M*эi и М*эj. Таким образом, при оценке эффективности системы по нескольким показателям качества можно рекомендовать следующую процедуру выбора наиболее эффективных вариантов технических решений:
определение возможных и допустимых по условиям задачи вариантов построения системы;
выявление множества основных показателей качества сравниваемых систем, включающих показатели эффекта и затрат;
определение множества систем на основе критерия Парето (в частном случае это множество будет содержать одну наиболее эффективную систему);
приведение систем, несравнимых по критерию Парето, в сопоставимый вид на основе принципа минимума затрат или принципа максимума эффекта;
выбор наиболее эффективного решения методом сравнивания либо векторов показателей систем, либо скаляризацией задачи.