Скалярное произведение векторов

Тема 2. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов их свойства и применения

Для самостоятельного решения

1. Разложить вектор в базисе , если .

Определение 2.1. Скалярным произведениемвекторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

×= ïïïïcosj

Свойства скалярного произведения:

1) ×= ïï²;

2) ×= 0, если ^или = 0 или = 0.

3) ×= ×;

4) ×(+) = ×+ ×;

5) (m)×= ×(m) = m(×); m=const

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

×= x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Пример 2.1. Найти (5+ 3)(2- ), если

Решение. 10×- 5×+ 6×- 3×= 10,

т.к. .

Пример 2.2. Найти угол между векторами и , если

.

Решение. Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2), ×= 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

Пример 2.3. Найти скалярное произведение (3- 2)×(5- 6), если

Решение.

15×-18×-10×+12×= 15

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример 2.4. Найти угол между векторами и , если

.

Решение. Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3), ×= 12 + 20 - 15 =17 :

.

cosj =

Пример 2.5. При каком m векторы и перпендикулярны.

= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)

.

Пример 2.6. Найти скалярное произведение векторов и , если

Решение.

()()= = 10 + 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.