Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории

Сделаем ряд вспомогательных предположений:

1) Газ идеальный (определение идеального газа см. в гл. 8),

2) Молекулы можно разделить на группы. Пусть молекул имеют скорость ,
- скорость ,…, - скорость . Концентрация молекул первой группы, второй - , , где V - объем сосуда. Очевидно ,
где N — общее число молекул,

,

 
 

где п — концентрация молекул в сосуде. Это предположение, строго говоря, неверно, так кик в силу непрерывного хаотического движения число молекул, имеющих данную скорость, может непрерывно изменяться. Можно указать число молекул, скорости которых изменяются в некотором интервале скоростей, например, молекул, скорости которых изменяются от до , молекул, скорости которых изменяются в пределах от до и т. д. Однако при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории некорректность этого предположения не играет существенной роли.

3) Направления движения молекул равновероятны. Пусть молекулы движутся по трем взаимно-перпендикулярным направлениям. В среднем в каждом направлении движется частиц.

Рассмотрим молекулы i-й группы, движущиеся вдоль оси х. В результате удара о стенку одной молекулы этой группы на стенку действует импульс силы:

.

За некоторый промежуток времени о стенку площадью S ударится не одна молекула, a молекул:

,

т.е. все молекулы, движущиеся по направлению к стенке (т. е. 1/6) и находятся в объеме (рис. 9.4).

Итак, средний импульс силы, подействовавший на стенку в результате удара о нее молекул i-й группы, за время равен:

.

Давление равно , отсюда давление на стенку, оказываемое молекулами i-й группы, есть

.

На стенку налетают молекулы всех групп, следовательно, суммарное давление равно

.

Введем понятие средне-квадратичной скорости:

.

Разделим числитель и знаменатель на объем сосуда:

,

откуда

. (9.2)

Средняя кинетическая энергия молекулы равна

, (9.3)

таким образом,

(9.4)

есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Давление газа пропорционально концентрации молекул и средней кинетической энергии поступательного движения молекулы.

Из уравнения Клапейрона – Менделеева следует:

. (9.5)

Приравняем выражения (9.4) и (9.5) и получим для :

. (9.6)

Абсолютная температура – мера кинетической энергии поступательного движения молекул. Если , то . Абсолютный нуль температуры – это температура, при которой прекращается поступательное движение молекул. Для одноатомного газа формула (9.6) определяет полную механическую энергию молекулы.

Выразим средне-квадратичную скорость через Т:

.

Если бы все молекулы газа двигались со средне-квадратичной скоростью, то давление и температура такого газа были бы такими же, как у реального газа. Средне-квадратичная скорость определяет термодинамические параметры – давление и температуру.