Модифицированные методы Эйлера

Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции y в точках t= t_i + с помощью формулы:

y= y_i + f_i = y_i +f(t_i, y_i).

Затем находится значение правой части уравнения (6.1) в средней точке

f= f(t, y)

и затем полагается

y_i+1 = y_i + h f, i = 0, 1, …, n – 1. (6.12)

Формулы (6.12) являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера.

Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом со вторым порядком точности

Второй модифицированный метод Эйлера – Коши.Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения

= y_i + h f(t_i, y_i). (6.13)

Затем приближения искомого решения находятся по формуле:

y_i+1 = y_i + [f(t_i, y_i) + f(t_i+1, )], i = 0, 1, …, n – 1. (6.14)

Формулы (6.14) являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера – Коши.

Второй модифицированный метод Эйлера – Коши, так же, как и первый, является одношаговым методом со вторым порядком точности.

Оценка погрешности.Приближенная оценка погрешности модифицированных методов Эйлера осуществляется как и для простого метода Эйлера с использованием правила Рунге (см. предыдущий раздел 6.2). Так как оба модифицированных метода Эйлера имеют второй порядок точности, т. е. p = 2, то оценка погрешности (6.6) примет вид

R » |y- y|. (6.15)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши модифицированными методами Эйлера с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:

R » |y- y| < e. (6.16)

Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.

Пример 6.2.

Применим первый модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши

y' (t) = y – , y(0) = 1,

рассмотренной ранее в примере 6.1.

Возьмем шаг h = 0.2. Тогда n = = 5.

В соответствии с (6.3) получим расчетную формулу первого модифицированного метода Эйлера:

y_i+1 = y_i + h f= y_i + 0.2 f, где

f= f(t, y) = y– ,

t= t_i + = t_i + 0.1,

y= y_i +f(t_i, y_i) = y_i +0.1,

t₀ = 0, y₀ = 1, i = 0, 1, …, 4.

Решение представим в виде таблицы 6.3:

Таблица 6.3

i	ti	yi	f(ti, yi)	t	y	h f
	0.2 0.4 0.6 0.8 1.0	1.1836 1.3426 1.4850 1.6152 1.7362	0.1 0.0850 0.0747 0.0677 0.0625	0.1 0.3 0.5 0.7 0.9	1.1 1.2682 1.4173 1.5527 1.6777	0.1836 0.1590 0.1424 0.1302 0.1210

Третий столбец таблицы 6.3 содержит приближенное решение y_i, i = 0, 1, …, 5.

Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Виднм, что погрешность составляет R = | y(t_i) – y_i| = 0.0042.

Пример 6.3.

Применим второй модифицированный метод Эйлера – Коши для решения задачи Коши

y' (t) = y – , y(0) = 1,

рассмотренной ранее в примерах 6.1 и 6.2. Так же, как и ранее, зададим шаг h = 0.2. Тогда n = = 5.

В соответствии с (6.14) получим расчетную формулу метода Эйлера – Коши:

y_i+1 = y_i + [f(t_i, y_i) + f(t_i+1, )] = y_i + 0.1[f(t_i, y_i) + f(t_i+1, )],

где

f(t_i, y_i) = y_i –

= y_i + h f(t_i, y_i) = y_i + 0.1

t₀ = 0, y₀ = 1, i = 0, 1, …, 4.

Решение представим в виде таблицы 6.4:

Таблица 6.4

i	ti	yi	f(ti, yi)	ti+1		f(ti+1,)
	0.2 0.4 0.6 0.8 1.0	1.1867 1.3484 1.4938 1.6272 1.7542	0.1 0.0850 0.0755 0.0690 0.0645	0.2 0.4 0.6 0.8 1.0	1.2 1.3566 1.4993 1.6180 1.7569	0.867 0.767 0.699 0.651 0.618

Таблица 6.4 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 6.4 содержит приближенное решение y_i, i = 0, 1, …, 5.

Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет R = | y(t_i) – y_i| = 0.0222.

6.4 Метод Рунге – Кутта

Метод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения

y' (t) = f(t, y(t))

с начальным условием y(t₀ ) = y_0.

Как и в методе Эйлера, выберем шаг h = и построим сетку с системой узлов t_i = t₀ + ih, i = 0, 1, …, n.

Обозначим через y_i приближенное значение искомого решения в точке t_i.

Приведем расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

y_i+1 = y_i + h(k+ 2k+ 2k+ k),

k= f(t_i, y_i),

k= f(t_i + , y_i + k), (6.17)

k= f(t_i + , y_i + k),

k= f(t_i +h, y_i + hk),

i = 0, 1, …, n.

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге - Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид

R » |y- y|. (6.18)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:

R » |y- y| < e. (6.19)

Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.

Пример 6.4.

Методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке [0, 1] следующей задачи Коши.

y' (t) = 2ty, y(0) = 1. (6.20)

Возьмем шаг h = 0.1. Тогда n = = 10.

В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:

y_i+1 = y_i + h(k+ 2k+ 2k+ k),

k= 2t_iy_i,

k= 2(t_i + )(y_i + k), (6.21)

k= 2(t_i + )(y_i + k),

k= 2(t_i +h)(y_i + hk),

i = 0, 1, …, 10.

Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e, поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями e_i = | y(t_i) – y_i|.

Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения y_i и их погрешности e_i представлены в таблице 6.5:

Таблица 6.5

Задачи к зачету по курсу “Вычислительные методы”

Указание. Каждый студент вначале должен определить параметр своего контрольного задания, s = log₁₀(1 +), где k - номер студента в списке группы, k = 1, 2, … Решение задач должно быть оформлено аккуратно и содержать все промежуточные расчеты. В качестве образца можно взять примеры, рассмотренные в соответствующих разделах методических указаний.

1. Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения

4(1 – x²) – e^x = s с точностью e = 10^-3.

2. Методом Зейделя решить систему уравнений с точностью e =10^-3.

6.2+s 2.2+s 1.2+s 16.55+s

A = 2.2+s 5.5+s -1.5+s , b = 10.55+s .

1.2+s -1.5+s 7.2 +s 16.80+s

3. Найти приближение функции f(x) = e^sx на отрезке [0, 1] многочленом Тейлора с точностью e = 10^-3 . Вычислить e^s.

4. Вычислить приближенно по формуле средних прямоугольников интеграл при n = 4 и оценить погрешность результата.

5. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши

y' = 2sy; y(0) = 1, на отрезке [0, 1] с шагом h = 0.2.

Сравнить с точным решением.