Определение масс небесных тел
Классификация орбит в задаче двух тел
Введём постоянную 
=const (постоянная для данной орбиты), тогда выражение (4.25) можно записать как
. (4.26)
В зависимости от значения, которое принимает h получим следующую орбиту:
а) круговая орбита
,
; (4.26а)
б) эллиптическая орбита
, 
;
в) параболическая орбита
h=0, 
;
г) гиперболическая орбита
h>0, 
.
|
рис.4.8 приведён пример возможных траекторий движения тела m относительно центрального, находящегося в точке С, если начальная скорость направлена вдоль mb перпендикулярно mC. Если начальная скорость V0 = VC и будет направлена перпендикулярно к линии mC, то точка m будет двигаться по кругу радиуса mС. При V0>VП тело движется по гиперболе, при V0=VП ¾ по параболе и при V0<VП ¾ по эллипсу. При этом может быть два типа эллиптического движения, для которых точка С ¾ ближний и дальний фокус от точки m. При дальнем фокусе орбита может быть получается незамкнутая, т.е тело m может упасть на М.Из механики известно, что для точки, равномерно движущейся по кругу, центростремительное ускорение ац = w2R , где w — угловая скорость точки, равная w=2p/Т (Т ¾ период обращения), а R — радиус круга. Принимая орбиту Луны за окружность с приближенным радиусом R = 384000 км, а период обращения Луны вокруг Земли равным примерно 27,3 средних суток (сидерический месяц), получим центростремительное ускорение орбитального движения Луны
.
Эта значение совпадает с величиной, полученной в разделе (4.6.1) по формулам, вытекающим из закона всемирного тяготения. Для Земли, движущейся вокруг Солнца получим, что её центростремительное ускорение равно ац=0,59 см/сек2 такое же значение получим из (4.20).
Приравняем центростремительное ускорение какого либо тела к ускорению силы притяжения от другого тела (4.20), движущимся по орбитам вокруг друг друга
. (4.27)
Такое же выражение можно записать и для второго тела
. (4.28)
Складывая уравнения (4.27) и (4.28), получим
, где r1+r2=r (4.29)
Преобразуем выражение (4.29)
. (4.30)
Это выражение справедливо для любых пар тел, например для планеты, обращающейся вокруг Солнца, или для спутника, обращающегося вокруг планеты. Следовательно выражение (4.30) можно записать для систем Солнце ¾ Земля и для Земля ¾ Луна:
, (4.31)
, (4.32)
где МС ¾ масса Солнца, mÅ ¾ масса Земли, mÅ ¾ масса Луны, ТÅ ¾ период обращения Земли вокруг Солнца, ТЛ ¾ период обращения Луны вокруг Земли, rÅ ¾ астрономическая единица, а rЛ ¾ расстояние от Земли до Луны. Разделив уравнение (4.31) на уравнение (4.32), получим
. (4.33)
Из (4.33), зная массу Земли можно найти массу Солнца. Из закона всемирного тяготения для Земли
g=ƒ´mÅ/R2; (4.34)
mÅ=g·R2/ƒ (4.35)
По известным g, R и ƒ масса Земли будет
mÅ=5,976×1027г≈6×1027г·, а средняя плотность r≈5,52 г/см3 .
Учитывая, что mÅ многократно меньше МС (в 333 000 раз), а mЛ меньше mÅ в 81,3 раза , то выражение (4.33) можно переписать как:
, (4.36)
Отсюда МС можно найти из выражения
. (4.37)
Для любых двух пар притягивающих тел выражение (4.33) можно записать как
. (4.38)
Выражение (4.38) является точной формулой третьего закона Кеплера. Третий уточненный закон Кеплера позволяет определить массу планеты, если у нее есть хотя бы один спутник. В (4.38) массы m2,4 , как правило, пренебрегаемо малы по сравнению с массами m1,3, следовательно, зная m1 или m3 можно вычислить вторую массу. Однако первоначально необходимо определить m какого либо тела в Солнечной системе, первоначально эта задача была решена для Земли.
Если у какого либо тела спутники отсутствуют, то его масса определяется другими методами, но на основе закона всемирного тяготения. Так массу Луны mƒ определили по «лунному неравенству» в долготе Cолнца с месячным периодом. Это следствие того, что центр масс Земля-Луна находится на расстоянии 4650 км от центра Земли в сторону Луны. По приливам определили, что отношение масс Луна-Земля равно
.
По наблюдениям астероидов и затем ИСЗ оно получено как 
. С этим значением M¤=333000´mÅ , M¤≈2·1033г .