Решение сферического треугольника

Свойства сферического треугольника

Сферические треугольники обладают рядом свойств:

1. Любая сторона сф. треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон, т.е.:

а + b > c; b+ c > a; с + a > b;

b> a – c ; a > b – c; c> b – a;

2. Сумма сторон cф. треугольника больше нуля и меньше 360°, т.е.: 0°<a+b+c<360°;

3. Сумма углов cф. треугольника больше 180° и меньше 540° , т.е.:

180°< A + B + C < 540°, величина e= A + B + C – 180° – называется сферическ4им избытком (эксцессом);

4. Сумма двух углов без третьего должна быть меньше 180° градусов

A + B – C <180° ;

5. Если сумма двух углов сферического треугольника больше, равна или меньше 180°, то и сумма двух противоположным им сторон больше, равна или меньше 180°;

6. Если разность двух сторон сферического треугольника больше, равна или меньше нуля, то разность противолежащих им углов соответственно больше, равна или меньше нуля, т.е., если a – b > 0, то и A – B >0 и т.д..

Для прямоугольных сферических треугольников должна выполняться ещё два условия:

7. Число сторон, больше 90° – должно быть чётное, а меньше 90° – не чётное;

8. Катет и противолежащий ему угол, всегда лежат в одной четверти.

Решить сферический треугольник значит по известным элементам найти неизвестные. Сферический треугольник определяется тремя элементами, т.е. по любым трём известным, можно найти три неизвестные; Это сочетание известных элементов сводится к следующим основным вариантом:

а) по трём сторонам;

б) по трём углам;

в) по двум сторонам и углу между ними;

г) по двум угла и стороне между ними;

д) по двум сторонам и углу противолежащему одной из них;

е) по двум углам и стороне, противолежащей одному из них.

Общее число сочетаний (вариантов) для косоугольного треугольника определяется выражением из теории вероятности: С3,6 = 6х5х4/1х2х3 = 20; для прямоугольного: С3,5 = 5х4х3 /1х2х3 = 10

Решают сферические треугольники по формулам сферической тригонометрии (мы их записываем без доказательств);

Наиболее часто используются следующие формулы:

1. формула косинусов стороны;

2. формула синусов;

3. формула пяти элементов ( произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла);

4. формула котангенсов четырех элементов;

5. формула косинусов угла;

Формулы косинусов сторон:

cosа= cosb cosс+sinв sinс cosА

cosb= cosа cosс+sinа sinс cosВ (3.1)

cosс= cosb cosа+sinв sinа cosС

-косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих сторон , умноженное на косинус угла между ними.

Формула косинусов углов:

cosА=- cosВ cosС+sinВ sinС cosа

cosВ=- cosА cosС+sinа sinС cosb (3.2)

cosС=- cosВ cosА+sinВ sinА cosс

-косинус угла равен произведению косинусов двух других углов со знаком минус плюс произведение синусов этих углов , умноженное на косинус стороны между ними.

Формула синусов:

sinА /sinа=sinВ /sinb =sinС/ sinс (3.3)

− отношение синуса угла к синусу противолежащей стороны одинаково для всех вершин сферического треугольника.

Формулу синусов можно (и удобно ) расписать так:

sin А sinb =sinВ sinа

sinА sinс =sinС sinа (3.4)

sin В sinс =sinС sinb (3.10)

sina×cosB=cosb×sinc-sinb×cosc×cosA (3.5)

- синус стороны, умноженный на косинус прилежащего угла, равен косинусу стороны, противолежащей углу, умноженному на синус третьей стороны, минус произведение синуса второй стороны на косинус третьей стороны и на косинус угла между ними. Остальные пять формул аналогичные (11), можно получить круговой перестановкой элементов треугольника.

Формула четырех элементов (котангенсов):

cosc×cosA=sinc×ctgb-ctgB×sinA (3.6)

- произведение косинуса стороны на косинус прилегающего угла равно произведению синуса той же стороны на котангенс второй прилегающей стороны к первому углу минус произведение котангенса угла противолежащего второй стороне на синус первого угла.

Существуют и другие формулы: аналогии Непера, формулы Борда, Мольвейде и другие [1-3].

Для решения прямоугольных сферических треугольников применяется правило Непера – Модюи:

Косинус какого-либо элемента равен произведению котангенсов смежных с ним элементов или произведению синусов не смежных;

Дополнительные условия :

1. Катеты берутся как дополнение до 90 градусов;

2. Прямой угол не учитывается при определении смежных или несмежных элементов, т.е катеты - смежные элементы (лежащие рядом ) :

сos ( 90 – b ) = sin b = tg c×ctg C ;

cos ( 90 – b ) = sin b = sina×sin B;

сos ( 90 – b ) = ctg ( 90 – c ) ×ctg C; (3.7)

сos ( 90 – b ) = sin a × sin B.