Волновое уравнение

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

 

 

 

 

Из курса электричества мы уже знаем, что переменное магнитное поле создает вихревое электрическое поле. Линии этого поля замкнуты, оно существует независимо от электрических зарядов и только до тех пор, пока происходит изменение магнитного поля. На электрические заряды оно действует так же, как электростатическое поле, что следует из явления электромагнитной индукции.

Изучая взаимосвязь между электрическим и магнитным полями, Д. Максвелл создал теорию электромагнитного поля на основе двух постулатов (утверждений):

1) переменное магнитное поле создает в окружающем его пространстве вихревое электрическое поле;

2) переменное электрическое поле создает в окружающем его пространстве вихревое магнитное поле.

Когда конденсатор включен в цепь переменного тока, то между его обкладками имеется переменное электрическое поле, а это означает, что в том же пространстве должно быть магнитное поле. Таким образом, изменяющееся электрическое поле по его магнитному действию можно рассматривать как своеобразный электрический ток без зарядов. В отличие от тока проводимости Максвелл стал называть его током смещения. Итак, применяя термин «электрический ток» в широком смысле слова, т. е. включая в него и ток проводимости и ток смещения, можно утверждать, что магнитное поле создается только электрическим током и действует только на движущиеся заряды; электрическое же поле создается электрическими зарядами и переменным магнитным полем и действует на любые электрические заряды.

Описанное выше изменение электрического поля в конденсаторе создает в близлежащих точках окружающего пространства изменяющееся магнитное поле, которое в свою очередь создает в соседних точках электрическое поле, и т. д. Таким образом, во всем пространстве, где происходят изменения полей, одновременно существуют вихревые электрическое и магнитное поля, взаимно порождающие и поддерживающие друг друга. Поскольку эти поля неразрывно связаны, их общее поле условились называть электромагнитным полем.

Из сказанного выше следует, что если в какой-либо малой области пространства периодически изменять электрическое и магнитное поля, то эти изменения должны периодически повторяться и во всех других точках пространства, причем в каждой последующей точке несколько позже, чем в предыдущей. Иными словами, если создать электромагнитные колебания в какой-либо небольшой области, то от нее должны распространяться во все стороны электромагнитные волны с определенной скоростью[1]. Итак, из постулатов Максвелла следует, что в природе должны существовать электромагнитные волны.

Посмотрим теперь, как из уравнений Максвелла получается волновое уравнение вида (*.*), рассмотренное нами в главе 1. Зачем это надо? Ну прежде всего математически подтвердить наши качественные рассуждения. Но не только. Как мы помним коэффициент в правой части волнового уравнения есть квадрат скорости распространения волны. Таким образом, мы можем надеяться получить теоретическое предсказание для скорости электромагнитных волн, затем сравнить ее с измеренной экспериментально и, следовательно, подтвердить или опровергнуть нашу теорию. Проделаем это.

Нас интересует распространение электромагнитных волн в самом простом случае, например в воздухе. С хорошей точностью можно считать, что воздух является диэлектриком, притом однородным. Для такой среды уравнения Максвелла имеют вид:

 

; ; (1.1)

 

 

Здесь вектора Е и Н это напряженности электрической и магнитной составляющей электромагнитного поля, индексом снизу мы обозначаем соответствующую проекцию, ε0 – электрическая постоянная, ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды (в нашем случае – воздуха).

Уравнения (1.1) представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных и математически выражают уже упомянутый нами факт: переменное электрическое поле создает в окружающем его пространстве вихревое магнитное поле..

Вторая группа уравнений Максвелла математически выражает другой упомянутый факт: переменное магнитное поле создает в окружающем его пространстве вихревое электрическое поле

 

; ; (1.2)

 

здесь μ0 – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды.

К этим уравнениям добавим еще два:

 

(1.3)

 

 

(1.4)

 

Уравнения (1.1)-(1.4) представляют собой полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме, в которых все входящие величины относятся к одной и той же точке поля и одному и тому же моменту времени.

Как Е, так и Н являются в общем случае функциями времени и координат x, y, z, т.е. всего 4-х переменных. Аналитически (как это не прискорбно) эти уравнения решаются только в очень ограниченном числе простейших случаев, поэтому их решают численно.

Далее мы ограничимся особенно простым случаем электромагнитного поля, когда Е и Н зависят от одной координаты х и от времени (одномерная задача). Это значит, что все пространство можно разбить на бесконечно тонкие плоские слои, внутри которых Е и Н имеют одно и то же значение во всех точках (рис. 1.1).

Как и у механических волн, у электромагнитных волн, поверхность, во всех точках которой колебания имеют одинаковую фазу, называют фронтом волны. В зависимости от того, какую форму имеет волновой фронт, мы говорим о плоских волнах (волновой фронт плоский), сферических, цилиндрических и т. д. Рассматриваемая одномерная задача соответствует, очевидно, плоским электромагнитным волнам.

Для одномерного случая уравнения Максвелла сильно упрощаются. Так как все производные по у и z равны нулю, то прежде всего из первого уравнения (1.1) следует, что , а из первого уравнения (1.2) — что . Это значит, что составляющие полей Ех и Нх не зависят от времени. Далее из (1.3) и (1.4) получается, что и , а значит, Ех и Нх не зависят также и от координаты. Поэтому

 

Ех=const и Нх=const

 

Остающиеся уравнения (1.1) теперь принимают вид

 

 

а уравнения (1.2) — вид

 

 

Эти четыре уравнения можно сгруппировать в две независимые группы, одна из которых связывает y-составляющие электрического поля и z-составляющие магнитного поля

 

 

 

а другая — z-составляющие электрического поля и y-составляющие магнитного поля

 

 

 

Отсюда следует, что меняющееся во времени электрическое поле Еy вызывает появление только магнитного поля Hz, направленного вдоль оси Z, а переменное во времени магнитное поле Hz влечет появление электрического поля Еy, целиком направленного вдоль оси Y. Или, иначе: в электромагнитном поле электрическое и магнитное поля перпендикулярны друг к другу. Такой же вывод вытекает и из второй пары уравнений.

Найденный результат позволяет положить без нарушения общности, что все электрическое поле направлено вдоль одной из осей, например вдоль оси У, а магнитное поле — вдоль оси Z (рис. 1.2). Поэтому в последних уравнениях можно положить, Еy=E, Еz = 0, Hz =H, Hy = 0, и мы находим окончательно уравнения Максвелла для одномерного случая в следующем простом виде:

 

(1.5)

 

Исключим из уравнений Максвелла (1.5) магнитное поле Н. Для этого умножим первое из уравнений на μ0 μ и продифференцируем обе его части один раз по t:

 

 

Второе уравнение продифференцируем по х:

 

 

 

Так как правые части этих уравнений одинаковы, то, следовательно, равны и левые части, т. е.

 

(1.6)

 

Такое же уравнение мы получили бы и для Н, если бы из (1.5) исключили электрическое поле Е.

Уравнение (1.6) есть волновое уравнение, рассмотренное в главе 1. Отсюда следует, что поля Е и Н могут распространяться в пространстве, т. е. могут существовать электромагнитные волны.

Теперь ясно, что обещанное теоретическое значение скорости электромагнитных волн равно:

 

(1.7)

 

где с есть скорость распространения при ε = μ = 1, т. е. в вакууме. Мы получили, таким образом, выражение для скорости распространения электромагнитных волн, которое соответствует опыту с=3·108 м/c.

Уравнению (1.6) удовлетворяет, в частности, простейшая – синусоидальная волна:

 

,

 

в которой вектор Е распространяется вдоль оси ОХ со скоростью с; – круговая частота; λ - длина волны.