Код с проверкой на четность

Самым простым линейным блочным кодом является (n,n-1)-код, построенный с помощью одной общей проверки на четность. Например, кодовое слово (4,3)-кода можно записать в виде вектора-столбца:

= ( m₀, m₁, m₂, m₀+m₁+m₂ ), (3.1)

где m_i - символы информационной последовательности, принимающие значения 0 и 1, а суммирование производится по модулю 2 ( mod2 ).

Поясним основную идею проверки на четность.

Пусть информационная последовательность источника имеет вид

m = ( 1 0 1 ). (3.2)

Тогда соответствующая ей кодовая последовательность будет выглядеть следующим образом :

U = ( U₀, U₁, U₂, U₃ ) = ( 1 0 1 0 ), (3.3)

где проверочный символ U₃ формируется путем суммирования по mod2 символов информационной последовательности m :

U₃ = m₀ + m₁ + m₂ . (3.4)

Нетрудно заметить, что если число единиц в последовательности m четно, то результатом суммирования будет 0, если нечетно — 1, то есть проверочный символ дополняет кодовую последовательность таким образом, чтобы количество единиц в ней было четным.

При передаче по каналам связи в принятой последовательности возможно появление ошибок, то есть символы принятой последовательности могут отличаться от соответствующих символов переданной кодовой последовательности (нуль переходит в единицу, а 1 − в 0).

Если ошибки в символах имеют одинаковую вероятность и независимы, то вероятность того, что в n-позиционном коде произойдет только одна ошибка, составит

P₁ = n× P_ош × (1- P_ош)^n-1 (3.5)

(то есть в одном бите ошибка есть, а во всех остальных n - 1 битах ошибки нет).

Вероятность того, что произойдет две ошибки, определяется уже числом возможных сочетаний ошибок по две (в двух произвольных битах ошибка есть, а во всех остальных n - 2 битах ошибки нет):

P₂ = C_n² × P_ош × (1- P_ош)^n-2 , (3.6)

и аналогично для ошибок более высокой кратности.

Если считать, что вероятность ошибки на символ принятой последовательности P_ош достаточно мала (P_ош<<1), а в противном случае передача информации не имеет смысла, то вероятность выпадения ровно lошибок составит P_l @ P_ош^l.

Отсюда видно, что наиболее вероятными являются одиночные ошибки, менее вероятными — двойные, еще меньшую вероятность будут иметь трехкратные ошибки и т. д.

Если при передаче рассматриваемого (4,3)-кода произошла одна ошибка, причем неважно, в какой его позиции, то общее число единиц в принятой последовательности r уже не будет четным.

Таким образом, признаком отсутствия ошибки в принятой последовательности может служить четность числа единиц. Поэтому такие коды и называются кодами с проверкой на четность.

Правда, если в принятой последовательности r произошло две ошибки, то общее число единиц в ней снова станет четным и ошибка обнаружена не будет. Однако вероятность двойной ошибки значительно меньше вероятности одиночной, поэтому наиболее вероятные одиночные ошибки таким кодом обнаруживаться все же будут.

На основании общей идеи проверки на четность и проверочного уравнения (1.4) легко организовать схему кодирования - декодирования для произвольного кода с простой проверкой на четность.

Схема кодирования может выглядеть следующим образом (рис. 3.2):

Рис. 3.2

Декодирующее устройство для кода с проверкой на четность изображено на рис. 3.3.

Рис. 3.3

Декодер, как это видно из рис. 3.3, проверяет на четность общее число единиц в принятой последовательности и выдает на своем выходе нуль или единицу в зависимости от того, выполнилась проверка или нет.

Отметим следующий момент. Если посимвольно сложить два кодовых слова, принадлежащих рассматриваемому (4, 3)-коду:

a = ( a₀, a₁, a₂, a₀ + a₁ + a₂ ), и b = ( b₀, b₁, b₂, b₀ + b₁ + b₂ ), (3.7)

то получим

с = ( a₀+b₀, a₁+b₁, a₂+b₂, a₀+b₀+a₁+b₁+a₂+b₂) = ( c₀, c₁, c₂, c₀+c₁+c₂ ), (3.8)

то есть проверочный символ в новом слове с определяется по тому же правилу, что и в слагаемых. Поэтому с также является кодовым словом данного кода.

Этот пример отражает важное свойство линейных блочных кодов — замкнутость, означающее, что сумма двух кодовых слов данного кода также является кодовым словом.

Несмотря на свою простоту и не очень высокую эффективность, коды с проверкой на четность широко используются в системах передачи и хранения информации. Они ценятся за невысокую избыточность: достаточно добавить к передаваемой последовательности всего один избыточный символ − и можно узнать, есть ли в принятой последовательности ошибка. Правда, определить место этой ошибки и, следовательно, исправить ее, пока нельзя. Можно лишь повторить передачу слова, в котором была допущена ошибка, и тем самым ее исправить.