Выборочное распределение средних

Будем осуществлять испытания по схеме повторной выборки. Взяв наудачу один элемент из генеральной совокупности, мы фиксируем значения признака, возвращаем выбранный элемент в генеральную совокупность и затем выбираем наудачу следующий элемент. Этот процесс мы повторяем до получения значений, представляющих случайную выборку объема . Обозначим значения признака у первого выборочного элемента через , у второго – через , …, у го – через . Представим, что из генеральной совокупности объема произведены всевозможные выборки объема , и для каждой выборки рассчитаны выборочные средние . Естественно ожидать, что выборочные средние могут отличаться друг от друга, т.е. выборочную среднюю можно считать случайной величиной. Таким образом, полученные значения можно представить в виде ряда распределения выборочных средних и рассчитать среднее значение для этого распределения .

Любое распределение, полученное из выборочных характеристик, называется выборочным распределением. Когда мы строим распределение выборочных средних, то называем его выборочное распределение средних.

Математическое ожидание выборочной средней равно генеральной средней исследуемой совокупности :

(11.1)

Дисперсию выборочной средней можно представить:

(11.2)

Отсюда среднее квадратическое отклонение выборочной средней равно:

(11.3)

Теоретической основой выборочного метода служит закон больших чисел и центральная предельная теорема Ляпунова. Из теоремы Ляпунова следует, что если генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения, то и выборочное распределение также подчиняется закону нормального распределения, а, согласно следствию из этой же теоремы, при достаточно большом объеме выборки распределение выборочных средних также будет подчиняться близкому к нормальному закону распределения, независимо от того, какой закон распределения имеет генеральная совокупность.