Гравитационно поле Земли

Земля, как любое небесное тело, обладающее конечной массой, является источником гравитационного, или притягивающего поля, которое действует на все тела, находящиеся в этом поле. Для ЛА сила гравитационного, или Земного притяжения является одной из основных сил, формирующих его движение. В некоторых случаях эта сила является единственной (например, пассивные участки полета траектории БР). В этих случаях нестрогий учет этой силы может привести в итоге к невыполнению целевой задаче полета.

Рассмотрим различные модели гравитационного поля Земли. Наиболее простая модель включает в себя только две точечные массы (два тела): притягивающая точка (притягивающий, или гравитационный центр), в которой находится вся масса притягивающего тела (Земли), и притягиваемая точка массой (ЛА). Предполагается также, что .

По закону всемирного тяготения частица массой (Земля) притягивает частицу массой (ЛА) с силой гравитационного притяжения (тяготения), действующей по прямой, соединяющей эти частицы и определяемой выражением

, (2.12)

где - постоянная тяготения (гравитационная постоянная), - расстояние от точки до точки (точнее – величина радиуса-вектора , проведенного из точки в точку , чем и объясняется знак “минус” в формуле для , ибо силя притяжения действует в противоположном направлении), - единичный вектор направления от точки к точке .

Силовое воздействие на частицу единичной массы равно:

.

Если каждой точке пространства ставится в соответствие некоторая сила, определяемая фугкцией , то говорят, что задано силовое поле. Модель гравитационного поля, определяемая функцией (2.12), называется центральным полем ньютоновского тяготения (или просто центральным полем).

Такое поле обладает тем свойством, что работа сил притяжения при движении точки в этом поле зависит лишь от начального и конечного положения точки в поле точки и не зависит от пути, по которому точка переходит из первого положения во второе. Такого рода силовые поля называются консервативными, или потенциальными.

Напомним общее определение потенциального силового поля. Если для заданного силового поля существует скалярная функция такая, что

, (2.13)

или

; ; ;

,

то поле сил называется потенциальным, а скалярная функция - его потенциалом или силовой функцией. Таким образом, потенциалом сил (силовой функцией) называется функция координат, которая обладает тем свойством, что частная производная от этой функции по какому-нибудь направлению равна проекции действующей силы на это направление.

Понятие о потенциале сил было введено в механику Лагранжем при рассмотрении закона Ньютона о взаимном притяжении двух тел. При исследовании этого вопроса оказалось, что на всякие силы обладают тем свойством, что их проекции на координатные оси могут быть выражены через частные производные от некоторой функции . Силы тяжести и магнитные силы обладают подобным свойством, но для сил трения, например, такой функции не существует.

По физическому смыслу потенциал в данной точке гравитационного поля равен работе, которую необходимо совершить при перемещении единичной массы из данной точки на бесконечно большое расстояние. При этом совершение работы связано с преодолением сил гравитационного поля.

Для центрального поля тяготения (или центрального гравитационного поля) силовая функция имеет следующий вид:

, (2.14)

и называется ньютоновским потенциалом.

В соответствии с рассматриваемой моделью гравитационного поля, приведенный вид для можно считать потенциалом Земли (потенциальной функцией Земли), елси пренебречь всяким представлением о форме Земли и считать, что Земля есть притягивающая материальная точка и вся масса Земли, равная , сосредоточена в этой точке. При этом, в соответствии с (2.14), выражения для проекции силы притяжения на радиус-вектор и для проекции на это же направление гравитационного ускорения (ускорения силы тяжести) имеют следующий вид:

; ; (2.15)

Для определения значения на высоте полета ЛА используется другое соотношение, получаемое из предыдущего

, (2.16)

где - средний радиус Земли; - ускорение на высоте .

Перейдем к рассмотрению более сложной модели поля, а именно – гравитационного. Попытаемся учесть теперь форму Земли. Предположив сначала, что притягивающее тело есть конечная сумма частиц с массами , а затем, перейдя к интегралу, понятие гравитационного потенциала (действующего на единичную массу ) можно распространить на непрерывно распределенную массу притягивающего тела

, (2.17)

где интегрирование ведется по всему объему тела. Очевидно, что величина интеграла существенно зависит от формы притягивающего тела и от распределения масс внутри объема .

Интеграл (2.17) не может быть вычислен для Земли точно, поскольку точно неизвестны форма Земли и ее размеры и неизвестно точно распределение масс внутри Земли, ибо плотность вещества Земли существенно изменяется по ее объему. Таким образом, интеграл (2.17) может быть вычислен (и то приближенно!) лишь при введении различного рода допущений. Наиболее существенные допущения касаются формы Земли, ее размеров и распределения масс внутри нее.

Если за модель Земли принять шар и предположить, что масса Земли распределена внутри шара так, что плотность во всех точках, равноудаленных от центра шара, одинакова, то потенциал гравитационного поля Земли, действующего на частицу единичной массы , будет определяться следующей формулой:

,

где ; - расстояние от центра шаровой модели Земли до рассматриваемой точки пространства. Формулы (2.15) для этого случая также справедливы.

Как и шаровая модель фигуры Земли, соответствующая ей модель гравитационного поля является лишь очередным приближением к реальному гравитационному полю.

Следующим, более точным приближением является модель гравитационного поля, соответствующая общему земному эллипсоиду. Эту модель получают путем разложения подинтегральной функции с помощью полиномов Лежандра. В итоге получаем:

, (2.18)

где - геоцентрическая широта точки пространства, отстоящая от центра Земли на расстояние ; - безразмерные постоянные коэффициенты. Функции представляют собой полиномы Лежандра, определяемые следующим образом:

.

Гравитационное поле, имеющее потенциал вида (2.18) называется нормальным. Видно, что первый член в разложении (2.18) определяет потенциал центрального гравитационного поля, так что выражению (2.18) можно придать следующий вид:

,

где - потенциал центрального поля; - поправка к основному слагаемому, определяющая все аномалии (отличия реального гравитационного поля от центрального).

Члены выражения (2.18), содержащие , называются второй, третьей и т.д. зональными гармониками. Порядок величин этих членов определяется величиной безразмерных коэффициентов:

; ; ;…

Как видно, добавочные члены, характеризующие отличие потенциала нормального поля (2.18) от потенциала центрального поля , дают относительно небольшой вклад: член с - около десятой доли процента, последующие члены – на несколько порядков меньше. Поэтому для многих баллистических рассчетов, в первую очередь при решении задач проектного характера, в выражении для потенциала (2.18) достаточно учитывать либо только основной (центральный) член, либо дополнительно член, содержащий (вторую зональную гармонику) и учитывающий зависимость потенциала не только от удаления точки пространства от центра Земли, но и от геоцентрической широты этой точки. Потенциал в таком "урезанном" виде

(2.19)

также называют потенциалом нормального поля. Полезно отметить, что выражение (2.19) соответствует предположению о том, что Земля есть правильньй эллипсоид вращения с равномерным распределением масс вокруг оси вращения.

Значительно реже приходиться вовлекать в расчеты последующие члены в выражении (2.18), учитывающие зависимость потенциала от долготы несимметричности распределения масс в северной и южной частях Земли и другие возможные неравномерности в гравитационном поле Земли.

Итак, мы рассмотрели чисто гравитационное поле, определяющее гравитационную силу, или силу притяжения, действующую на ЛА со стороны Земли; обозначим ее . Но дело в том, что понятие силы тяжести на поверхности Земли или то, что обычно называют весом тела , не совпадает с понятием силы притяжения, и причиной этого несовпадения является вращение Земли, которое вызывает появление центробежной силы инерции . Таким образом тело, находящееся на поверхности Земли, испытывает суммарное действие гравитационной силы (т.е. силы притяжения) и центробежной силы. Эту суммарную силу и называют силой тяжести :

,

где - центробежная сила инерции; - сила гравитационного притяжения; или - сила тяжести (вес) ЛА (см. рис. 2.14).

Рис. 2.14

Соответствующее силе ускорение также является суммой двух ускорений: гравитационного и центробежного. Хотя физическое проявление обоих ускорений для тел, находящихся на поверхности Земли (или около ее) совершенно одинаково, в общем случае их не объединяют в одно ускорение, так как причины, их вызывающие, различны и, скажем, для тела, не связанного с Землей, вращение Земли никакого ускорения не создает.

Гравитационное поле и вызываемое им ускорение мы рассмотрели довольно подробно. В сферических геоцентрических координатах центробежная сила инерции, действующая на тело массой в направлении, перпендикулярном оси вращения Земли, равна

.

Как показывает приведенная формула, величина центробежного ускорения зависит от широты точки на поверхности Земли. Поэтому и ускорение силы тяжести (т.е. суммарное ускорение) тоже зависит от широты, имея для шарообразной Земли максимальное значение на полюсах () и минимальное значение на экваторе (); среднее его значение для всей поверхности Земли принято равным . (Как видно, влияние центробежного ускорения невелико, численно мы его оценим позже).

Направление силы тяжести (как и ускорения ) совпадает с направлением отвеса. В большинстве упрощенных расчетов не учитывают влияние и не делают различия между направлением радиуса-вектора к условному центру Земли и направлением отвеса в данной точке. Поскольку при составлении будущих уравнений движения будут использоваться земные СК, то весь (суммарный) вектор обычно раскладывается на составляющие и так, как показано на рис. 2.14.

Вернемся к формуле , где - текущая масса ЛА, являющаяся функцией времени и зависящая от режима работы двигателя. Обозначая через абсолютное значение массы, расходуемой за единицу времени через выходное течение сопла (или всех сопел) двигателя, т.е. абсолютную величину производной от массы ЛА по времени

,

массу ЛА в произвольный момент времени можно записать в следующем виде:

.

На большей части траектории функция , как правило, имеет постоянное или почти постоянное значение, определяемое номинальным режимом работы двигателя. Наиболее резкие изменения имеют место на переходных режимах работы двигателя: при выходе на режим после запуска, при выключении, при переключениях на промежуточные этапы работы. Как правило, в процессе динамического проектирования не возникает большой необходимости в точном учете закона нарастания и падения на переходных режимах, за исключением случаев специального исследования процессов выхода ЛА из стартовой установки, процессов разделения ступеней, отделения ЛА от носителя, отделения от ЛА каких-либо отсеков и т.п. Но эти задачи обычно рассматриваются как самостоятельные, с применением особых постановок и методов.

И, наконец, отметим, что сила тяжести считается приложенной в центре масс ЛА. Положение центра масс относительно корпуса ЛА изменяется в полете по мере расходования топлива и при отбросе элементов конструкции (ступеней, ускорителей, обтекателей и т.п.). Само по себе изменение положения центра масс не оказывает непосредственного влияния на траекторию ЛА, но, как мы увидим далее, оно сказывается через величину и, как следствие, через угол атаки . Расчет положения центра масс обычно выполняется одновременно с расчетом массово-инерционных характеристик ЛА. Им и пользуются при расчете траектории.

Пока мы рассматриваем ЛА как тело с точечной массой , гравитационное поле (его гравитационные силы) никаких гравитационных моментов на этом аппарате не вызывает. Если ЛА будет телом конечных размеров, но вся его масса будет по-прежнему сосредоточена в точке – центре масс, или распределена внутри его так, что плотность во всех равноудаленных от центра ЛА точках одинакова, тои в этом случае никаких гравитационных моментов относительно этой точки не будет, ибо сила притяжения или ее равнодействующая проходит через эту точку.

Такие гравитационные моменты появятся, если учесть возможное неравномерное распределение масс внутри аппарата. Величина гравитационных моментов (в силу закона тяготения) определяется соотношением размеров аппарата (т.е. расстоянием от любой частицы аппарата до центра масс) и расстоянием от ЛА до притягивающего центра (центра масс Земли). И в силу того, что размеры аппарата обычно несоизмеримы с расотоянием до центра Земли, эти моменты малы по сравнению с другими возможными моментами (например, от аэродинамических сил). Но когда других моментов нет, эти моменты становятся определяющими.

Так моменты гравитационных сил являются одним из важнейших факторов, влияющих на вращение искусственных небесных тел (ИСЗ, КЛА и др.) относительно своего центра масс, и лежат в основе создания пассивных гравитационных систем стабилизации КЛА. Принципиально такие системы (т.е. системы, использующие гравитационные моменты) могут быть спроектированы и для любых пассивно-гравитирующих тел.