Движение, фигура и гравитационное поле Земли

Матрицы перехода (таблицы направляющих косинусов)

При расчете движений ЛА часто возникает необходимость в перерасчете различных векторов из одной СК в другую.

Пример 1. Силы, действующие на ЛА, обычно задают (определяют) в скоростной СК, но уравнения движения ЛА записывают в траекторной, либо в связанной СК. Вследствие этого необходимо перевести силы из скоростной СК в траекторную (либо связанную) СК.

Пример 2. Интегрирование динамических уравнений движения ЛА, записанных в связанных осях, приводит к текущим значений проекций вектора скорости на связанные оси. Если необходимо получить траекторию ЛА относительно земных осей, то следует пересчитать (перевести) вектор к новым – земным нормальным осям.

Для пересчета векторов используются так называемые матрицы перехода, или таблицы направляющих косинусов. Рассмотрим сначала в общем виде задачу по составлению матриц перехода.

Пусть имеются две произвольные прямоугольные СК - и и вектор , который в конкретной задаче может иметь любое физическое значение (см. рис. 2.11).

рис. 2.11

Пусть - проекции вектора на оси , соответственно, а - проекции вектора на оси , соответственно. Как известно, эти проекции связаны следующими соотношениями:

(2.7)

или

, (2.8)

где - направляющие косинусы осей системы в системе (или наоборот), т.е.

Выражения (2.7) и (2.8) удобно представить в матричной форме:

или:

где - матрица перехода от системы к системе , а - матрица перехода от системы к системе . Очевидно, что эти матрицы имеют вид:

,

причем (транспонированная матрица ).

Таким образом, задача пересчета проекций вектора из одной СК в другую сводится к вычислению элементов матрицы (или ), т.е. к вычислению значений направляющих косинусов для той или иной пары СК.

рис. 2.12

Процедура перехода от одной СК к другой осуществляется умножением матрицы-столбца, содержащей проекции соответствующего вектора на оси исходной СК, на матрицу перехода слева. Матрица перехода является ортогональной. Напомним некоторые ее фундаментальные свойства:

– обращение матрицы перехода эквивалентно транспонированию (т.е. для обратного перехода необходимо воспользоваться транспонированной матрицей перехода);

– все строки и столбцы матрицы перехода нормированы, т.е. суммы квадратов элементов строк (столбцов) равны единице;

– сумма произведений соответственных элементов любых двух различных строк равна нулю.

Рассмотрим задачу по вычислению направляющих косинусов для следующей пары: нормальная и связанная СК. Будем считать заданными (известными) - проекции вектора на оси нормальной СК . Для вычисления направляющих косинусов при пересчете проекций вектора в связанную СК воспользуемся последовательностью поворотов связанной СК относительно нормальной, рассмотренной в п.2.2. Тогда первый поворот (на угол ) можно записать в виде:

,

где - матрица перехода от осей к осям . С помощью рис. 2.12 можно получить следующие выражения:

.

Следовательно, матрица имеет вид

.

Второй поворот (на угол ) можно записать в виде:

,

где - матрица перехода от осей к осям . Легко показать, что матрица имеет вид:

.

Третий поворот (на угол ) можно записать в виде:

,

где - матрица перехода от осей к осям . Легко показать, что матрица имеет вид:

.

Перемножив промежуточные матрицы перехода , получим окончательную матрицу - матрицу перехода от нормальных осей к связанным:

, (2.9)

где элементы имеют следующий вид:

, (2.10)

Итак, девять направляющих косинусов позволяют вычислить проекции любого вектора на связанные оси при заданных (известных) значениях его проекций на нормальные оси и известных углах , и . Для этого используется матричное выражение

, (2.11)

где матрица перехода определяется выражениями (2.9) и (2.10).

Вместо матричного выражения (2.11) часто используется таблица направляющих косинусов (см. табл. 2.1), элементы которой определяются выражениями (2.10).

Таблица 2.1

Связанные оси	Нормальные оси

Для “обратного” перехода от связанных осей к нормальным используется матричное выражение

,

где - транспонированная матрица (т.е. матрица, получаемая из исходной, заменой строк на столбцы), имеющая вид:

,

элементы которой также определяются выражениями (2.10).

В таблицах 2.2-2.5 представлены направляющие косинусы для других пар систем координат, что будет использовано в последующем материале.

Таблица 2.2. Косинусы углов между осями связанной и траекторной СК

Траекторные оси	Связанные оси

Таблица 2.3. Косинусы углов между осями нормальной земной и траекторной СК

Земные оси	Траекторные оси

Таблица 2.4. Косинусы углов между осями траекторной и скоростной СК

Траекторные оси	Скоростные оси

Таблица 2.5. Косинусы углов между осями скоростной и связанной СК

Скоростные оси	Связанные оси

Названные вопросы необходимо рассмотреть для правильного определения силы притяжения Земли – одной из основных сил, действующей на ЛА и формирующей его движение.