S0

S1

S2

¼

SN+1

m m m m

Рис. 6Размеченный граф СМО.

Обозначим l/m=r.

Система уравнений для нахождения вероятностей P_n имеет вид:

Учитывая , получим уравнение для определения P₀

, откуда получим P₀=(1-r)/(1-r^N+2), где r -любое, т.е. на отношение l/mне накладывается никаких ограничений.

Вероятности

P_n=P₀×rⁿ

Определим среднее число заявок в СМО:

(13)

Обозначим

(14)

Подставив (14) в (13) получим

Отметим, что вероятность отказа равна вероятности последнего состояния в размеченном графе:

Используя формулы Литтла получим:

, ,

Рассмотрим частный случай, когда l=m, т.е. r=1.

Тогда P₁=P₀=P₂=¼=P_N+1

P₀=1/(N+2)

P_отк=1/(N+2)

Основные характеристики СМО определяются по следующим формулам:

L_s=(N+1)/2

l_эфф=(1-1/(N+2))×l= l(N+1)/(N+2)

W_s==

W_q=W_s-1/m

L_q=l_эффW_q=-

Пример расчета характеристик одноканальной СМО с ограниченной очередью.

Ресторан быстрого питания обслуживает клиентов в автомобиле через 1 окно (m=1). Число место в очереди ограничено тремя (N=3). Поток автомобилей равен 20 в час. Интенсивность обслуживания 10 клиентов в час.

.

r=l/m=2

P₀=(1-r)/(1-r^N+2)=(1-2)/(1-2⁵)=1/31

P_отк=r^N+1P₀=2⁴×1/31=16/31

==98/31

l_эфф=(1-16/31)×2 = 30/31

W_s=L_s/l_эфф = 49/15

W_q=W_s-1/m = 49/15 – 1 = 34/15

L_q=W_q×l_эфф= 68/31

5.3. СМО с бесконечной очередью (СМО без отказов)

Так на СМО без отказов P_отк=0,тоl_эфф=l.

Для получения формул расчета характеристик СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью (см. п. 5.2)

L_s=

Чтобы существовал предел необходимо, чтобы выполнялось условие:

r=l/m<1.Тогда получим для СМО с бесконечной очередью:

L_s=

W_s=L_s/l=

W_q=W_s-

L_q=l×W_q=

Пример расчета характеристик одноканальной СМО с бесконечной очередью.

На сервер, обслуживающих пользователей по запросам в информационную систему, поступают запросы (заявки) с интенсивностью λ = 1200 в час, интенсивность обслуживания запросов μ = 2000 в час.

Решение.

ρ= λ/ μ = 1200/2000 = 0,6

L_s=запросов,

W_s=час или 4 сек.,

W_q=час или 2,7 сек.

L_q=l×W_q= 1200×= 0,9 запросов.