Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды находят широкое применение в приближенных вычислениях значений функции, в приближенном интегрировании. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 10.12. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Воспользуемся биномиальным рядом (10.17). Для этого надо представить 150 как сумму двух чисел, одно из которых - ближайший к 15 куб целого числа. Таким числом является 5, так как . Тогда . Используя разложение (10.17) при получим

Опираясь на признак Лейбница, можно в качестве приближенного значения взять первые четыре слагаемых, отбросив остальные. При этом огрешность вычисления не превзойдет по абсолютной величине первого из отброшенных членов . Итак,

.

Пример 10.13. Вычислить приближенное значение интеграла .

Интеграл относится к «неберущимся», то есть не разрешимыми в квадратурах. Вычислим его приближенно, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд (10.14). Запишем ряд функции

и положим в нем .

Тогда

Подставим это разложенение вместо подынтегральной функции, записав только три члена ряда

0,3-0,0045+0,00006=0,2955, таков результат, если ограничиться только двумя первыми слагаемыми. При этом погрешность .

Рабочий стандарт по математике для экономических специальностей