Определить условные математические ожидания и построить линии регрессии одной случайной величины на другую.

Выяснить по условным вероятностям, являются ли случайные величины зависимыми или независимыми.

4. Вычислить коэффициент корреляции случайных величин Х и Y.

Решение. 1. Для определения законов распределения случайной ве­личины Xвоспользуемся формулой № 3 данной лекции.Для вероятности Р(Х = 2) получим:

 

 

Производя аналогичные вычисления для Р(х2), Р(х3), Р(х4) и Р(х5),полученные значения занесем в табл. 3, которая определяет закон распределения случайной величины X.

Таблица 3.

Закон распределения случайной величины X

 

При правильном вычислении они должны удовлетворять условию нормировки Вычислим значения математического ожидания и дисперсии случайной величины Xсоответственно по известным формулам их вычисления для дискретных случайных величин(Примечание:Дисперсию будем вычислять по формуле её вычисления для практики):

 

 

 
 

 


Вероятности P(yj),определяющие закон распределения случайной величины Y,вычисляются по формуле № 2 данной лекции. Для вероятности Р(у1) получим:

 

 

Аналогично вычисляются вероятности всех возможных значе­ний случайной величины Y.Результаты вычислений приведены в табл. 4.

Таблица 4.

Закон распределения случайной величины У

 
 

 


Из таблицы следует, что для полученных значений P(yj) условие нормировки выполняется.

Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднеквадра­тичное отклонение случайной величины Y:

 

 
 

 

 


2. Вычислим условные вероятности P(xi / yj). Для этого воспользу­емся формулой (4) и табл. 2 и 4 (см. данную лекцию):

 

 


Аналогично вычисляются и другие условные вероятности.Резуль­таты вычисления по формуле (4) и P(yj /xi ) по формуле (5) представлены в табл. 5 и 6.

Таблица 5.

Значения условных вероятностей P(xi/yj)

 

Таблица 6.

Значения условных вероятностей P(yj /xi)

 

 

Правильность вычисления P(xi/yj) и P(yj/xi) можно проверить по условию нормировки, в соответствии с которымсумма условных вероятностей по каждой из строк табл. 5 и 6 должна быть равна единице.

Из полученных значений условных вероятностей следует, что P(xi/yj ) имеет различные значения для различных значений yj и не выполняется условие:

 

Из этого следует, что случайные величины X и У являются зависи­мыми.

3. Для определения условных математических ожиданийвосполь­зуемся формулами (6) и результатами расчетов условных вероятно­стей, представленных в табл. 5 и 6:

 

 
 

 

 


Используя таблицу 5,аналогично вычисляются остальные зна­чения условного математического ожидания mх(у). Результаты расче­тов приведены в табл. 7.

Таблица 7.

Математическое ожидание mх(у)

 

 

Расчеты условного математического ожидания mу(х) производятся аналогично с использованием табл. 6. Полученные результаты при­ведены в табл. 8.

Таблица 8.

Математическое ожидание my(х)

 
 

 

 


По результатам расчетов, представленных в табл. 7 и 8,на рис. 1 (см.лекцию) приведено графическое изображениелиний регрессии случайных величин Х и Y. По взаимному расположению линий регрес­сии можно предположить, что между случайными величинами X и Y наблюдается очень слабая взаимная связь:

 

4. Для количественной оценки степени линейной взаимосвязи между случайными величинами X и Yвычислим коэффициент кор­реляции .Для этого сначалавычислим по формуле (10) значение корреляционного момента.При вычислениях воспользуемся ре­зультатами вычислений, приведенных в табл. 4 и 7:

С учетом вычисленных значений среднеквадратичных отклоненийдля коэффициента корреляции получим:

 

 

Так как имеет значение, близкое к нулю, можно сделать вывод о том, чтослучайные величины X, Y слабо зависимы друг от друга.

 

Автор: к.т.н., доцент В.Е.Куприянов

28.08.2012г.