Метод Ньютона

Способ Лагранжа

Пусть ф-ция задана таблично. Ищем полином в виде: f(x)=Syi*Li(x) Li(x) – коэффициент Лагранжа (полином влияния)

Св-ва: а)степень равна к б) Li(x)=1, если x=xi; Li(x)=0, если x=xj (j<>i)

Li(x)=(x-x0)(x-x1)… (x-xi-1)(x-xi+1)…. (x-xn)

(xi-x0)(xi-x1)… (xi-xi-1)(xi-xi+1)… (xi-xn)

По теореме из Анализа существует единственный полином к-ой степени походящий через заданные точки, видно что найденный полином Лагранжа является единственный полиномом.

Достоинства: коэффициенты Лагранжа зависят только от х. При больших сериях опытов, если х-ы постоянны, то коэффициенты Лагранжа можно вычислять всего один раз.

Недостатки: допустим для к точек составили полином Лагранжа. В случаи добавления или изменения 1 точки нужно пересчитывать все коэффициенты Лагранжа заново.

(Последовательное уточнение результатов интерполяции)

если для построения полинома методом Лагранжа надо знать степень искомого полинома, то при построении методом Ньютона искать степень полинома не обязательно.

j(x)=y0+[x0,x1](x-x0)+ [x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+ [x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

св-ва: а)полином степени к б) j(xi)=yi

Полином составленный по методу Лагранжа и Ньютона это один и тот же полином.

При добавлении еще одной точки все члены сохраняются и добавляется еще 1член.

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов. x=x0+ht t=0,1…n

Коэффициенты Лагранжа не зависят от xi и yi для равноотстоящих узлов: