Метод Гаусса.

Элементарные преобразования систем.

 

  1. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
  2. Перестановка уравнений местами.
  3. Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

 

 

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ¹ 0, затем:

1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения

и т.д.

 

Получим:

,

где , , где i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

 

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения, потом для третьего и т.д.

 

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

 

Составим расширенную матрицу системы.

 

 

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

 

, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.