Исключение грубых ошибок при измерениях
В процессе обработки экспериментальных данных следует исключать грубые ошибки ряда. Появление этих ошибок вполне вероятно, а наличие их ощутимо влияет на результат измерений. Однако прежде чем исключить то или иное измерение, необходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка, а не отклонение вследствие статистического разброса. Известно несколько методов определения грубых ошибок статистического ряда. Наиболее простым способом исключения из ряда резко выделяющегося измерения является правило трех сигм: разброс случайных величин от среднего значения не должен превышать
хmin.max = х ± 3σ. (10)
Более достоверными являются методы, базируемые на использовании доверительного интервала. Пусть имеется статистический ряд малой выборки, подчиняющийся закону нормального распределения. При наличии грубых ошибок критерии их появления вычисляются по формулам
β1 = (хmax – х)/σ ((n – 1)/n)1/2;
β2 = (х – хmin)/σ ((n – 1)/n)1/2, (11)
где хmax , xmin - наибольшее и наименьшее значения из n измерений.
В табл. 3 приведены в зависимости от доверительной вероятности максимальные значения βmax, возникающие вследствие статистического разброса. Если β1 > βmax, то значение хmах необходимо исключить из статистического ряда как грубую погрешность. При β2 < βmax исключается величина хmin. После исключения грубых ошибок определяют новые значения х и σ из (п - 1) или (п - 2) измерений.
Второй метод установления грубых ошибок основан на использовании критерия В. И. Романовского и применим также для малой выборки. Методика выявления грубых ошибок сводится к следующему. Задаются доверительной вероятностью рд и по табл. 4 в зависимости от n находится коэффициент q. Вычисляют предельно допустимую абсолютную ошибку отдельного измерения
εпр = σq (12)
Если х – xmах > εпр, то измерение xmax исключают из ряда наблюдений. Этот метод более требователен к очистке ряда.
При анализе измерений можно применять для приближенной оценки и такую методику: вычислить по (1) среднеквадратичное отклонение σ; определить с помощью (5) σо; принять доверительную вероятность рд и найти доверительные интервалы µст из (8); окончательно установить действительное значение измеряемой величины хд по формуле (9). В случае более глубокого анализа экспериментальных данных рекомендуется такая последовательность: 1) после получения экспериментальных данных в виде статистического ряда его анализируют и исключают систематические ошибки; 2) анализируют ряд в целях обнаружения грубых ошибок и промахов: устанавливают подозрительные значения хmax или хmin; определяют среднеквадратичное отклонение σ; вычисляют по (11) критерии β1, β2 и сопоставляют с βmax, βmin, исключают при необходимости из статистического ряда хмах или хmin и получают новый ряд из новых членов; 3) вычисляют среднеарифметическое х, погрешности отдельных измерений (х - xi) и среднеквадратичное очищенного ряда σ; 4) находят среднеквадратичное σo серии измерений, коэффициент вариации кв; 5) при большой выборке задаются доверительной вероятностью рд = φ(t) или уравнением значимости (1 - рд) и по табл. 1 определяют t; 6) при малой выборке ( n ≤ 30) в зависимости от принятой доверительной рд и числа членов ряда Стьюдента αст; с помощью формулы (2) для большой выборки или (8) для малой выборки определяют доверительный интервал; 7) устанавливают по (9) действительное значение исследуемой величины; 8) оценивают относительную погрешность (%) результатов серии измерений при заданной доверительной вероятности рд:
δ = (δоα ст /х)100. (13)
Если погрешность серии измерений соизмерима с погрешностью прибора Впр, то границы доверительного интервала
µст = (σ2 оα2 + (α ст (∞)/3)2 )1/2 (14)
Формулой (14) следует пользоваться при αстσо ≤ ЗВпр. Если же αстσо > ЗВпр, то доверительный интервал вычисляют с помощью (1) или (9).
Пусть, например, имеется 18 измерений (табл.5). Если анализ средств и результатов измерений показал, что систематических ошибок в эксперименте не обнаружено, то можно выяснить, не содержат ли измерения грубых ошибок. Если воспользоваться первым методом (критерий βmax), то надо вычислить среднеарифметическое х и отклонение σо. При этом удобно пользоваться формулой x = x' + (хi — х')/n, где х' - среднее произвольное число. Для вычисления х, например, принять произвольно х'=75. Тогда х – 75 - 3/18 = 74,83. В формуле (1) значение (х-хi)2 можно найти упрощенным методом:
(х - xi)2 = ∑ (xi - х') - (xi - х')2 /n.
В данном случае (xi - х')2 = 737 - 32/18=736,5. По (1) σ = 736,5/(18 - 1) = 6,58, коэффициент вариации Kв = (6,58/74,83) 100 = 8,8%. Следовательно, β1 = 2,68.
Как видно из табл.3, при доверительной вероятности рд = 0,99 и n =18 βmax = 2,90. Поскольку 2,68 < βmaх, измерение 92 не является грубым промахом. Если рд = 0,95, βmах = 2,58, то значение 92 следует исключить.
Если применить правило 3σ, то xmax, min = 74,83 ±З·6,58 = 94,6...55,09, т.е. измерение 92 следует оставить.
В случае, когда измерение 92 исключается, х = 73,8, σ = 5,15. Среднеквадратичное отклонение для всей серии измерений при n = 18 σо = 6,58/18 = 1,55; при очищенном ряде σо =5,15 /17 = 1,25.
Поскольку n<30, ряд следует отнести к малой выборке и доверительный интервал вычисляется с применением коэффициента Стьюдента αст. По табл.2 принимается доверительная вероятность 0,95 и тогда αст = 2,11 в случае n = 18; αст = 2,12, если n = 17. Доверительный интервал при n =18 µст = ± 1,55·2,11 = 3,2; при n =17 µст = ± 1,25·2,12 = 2,7. Действительное значение изучаемой величины: при n =18 xд= 74,8±3,2; при n = 17 xд = 73,8±2,7. Относительная погрешность результатов серии измерений: при n = 18 δ = (3,2·100)/74,8 = 4,3%; при n =17 δ = (2,7· 100)/73,8 = 3,7 %. Таким образом, если принять xi = 92 за грубый промах, то погрешность измерения уменьшается с 4,3 до 3,7 %, т. е. на 14 %.
Если необходимо определить минимальное количество измерений при их заданной точности, проводят серию опытов, вычисляют σ, затем с помощью формулы (7) определяют Nmin.
В рассмотренном случае σ = 6,58; kв = 8,91 %. Если задана точность Δ = 5 и 3 % при доверительной вероятности рд = 95%, αст = 2,11. Следовательно, при Δ = 5% Nmin = (8,912.2,ll2)/52 = 14, а при Δ = 3% Nmin = (8,912·2,112)/52 = 40.
Таким образом, требование повышения точности измерения (но не выше точности прибора) приводит к значительному увеличению повторяемости опытов.
Во многих случаях в процессе экспериментальных исследований приходится иметь дело с косвенными измерениями. При этом неизбежно в расчетах применяют те или иные функциональные зависимости типа
Y = f(x1,x2…, xn ) (15)
Таблица 3. Критерии появления грубых ошибок
n | βмах при рд | n | βмах при рд | |||||
0,90 | 0,95 | 0,99 | 0,90 | 0,95 | 0,99 | |||
1,41 | 1,41 | 1,41 | 2,33 | 2,49 | 2,80 | |||
1,64 | 1,69 | 1,72 | 2,35 | 2,52 | 2,84 | |||
1,79 | 1,87 | 1,96 | 2,38 | 2,55 | 2,87 | |||
1,89 | 2,00 | 2,13 | 2,40 | 2,58 | 2,90 | |||
1,97 | 2,09 | 2,26 | 2,43 | 2,60 | 2,93 | |||
2,04 | 2,17 | 2,37 | 2,45 | 2,62 | 2,96 | |||
2,10 | 2,24 | 2,46 | 2,54 | 2,72 | 3,07 | |||
2,15 | 2,29 | 2,54 | 2,61 | 2,79 | 3,16 | |||
2,19 | 2,34 | 2,61 | 2,67 | 2,85 | 3,22 | |||
2,23 | 2,39 | 2,66 | 2,72 | 2,90 | 3,28 | |||
2,26 | 2,43 | 2,71 | 2,76 | 2,95 | 3,33 | |||
2,30 | 2,46 | 2,76 | 2,80 | 2,99 | 3,37 | |||
Так как в данную функцию подставляют не истинные, а приближенные значения, то и окончательный результат также будет приближенным. В связи с этим одной из основных задач теории случайных ошибок является определение ошибки функции, если известны ошибки их аргументов. При исследовании функции одного переменного предельные абсолютные εпр и относительные δпр ошибки (погрешности) вычисляют так:
εпр = ± εхf'(x), (16)
δпр = ± d ln (x), (17)
где f'(x) - производная функции f(x); dln(х) - дифференциал натурального логарифма функции. Если исследуется функция многих переменных, то
εпр = ± ∑|(ðf(x1,x2,...,xn)/ðxi)dxi|, (18)
δпp = ± d|ln(x1,x2,...,xn)|. (19)
В (18) и (19) выражения под знаком суммы и дифференциала принимают абсолютные значения. Методика определения ошибок с помощью этих уравнений следующая: вначале определяют абсолютные и относительные ошибки аргументов (независимых переменных). Обычно величина хд ± ε каждого переменного измерена, следовательно, абсолютные ошибки для аргументов известны, т.е. εx1, εx2,…, εxn. Затем вычисляют относительные ошибки независимых переменных:
δ x1 = εx1/xд; δ х2 = εх2 /хд ,…, δ xn = εxn /xд. (20)
Находят частные дифференциалы функции и по формуле (18) вычисляют εпр в размерностях функции f(y) и с помощью (19) вычисляют δпр, %.