Определение минимального количества измерений
Для проведения опытов с заданной точностью и достоверностью необходимо знать то количество измерений, при котором экспериментатор уверен в положительном исходе. В связи с этим одной из первоочередных задач при статических методах оценки является установление минимального, но достаточного числа измерений для данных условий. Задача сводится к установлению минимального объема выборки (числа измерений) Nmin при заданных значениях доверительного интервала 2µ и доверительной вероятности. При выполнении измерений необходимо знать их точность:
Δ = σ0/x (5)
где σо - среднеарифметическое значение среднеквадратичного отклонения σ, равное σо = σ/
.
Таблица 2. Коэффициент Стьюдента αст.
| n | Рд | |||||
| 0,80 | 0,90 | 0,95 | 0,99 | 0,995 | 0,999 | |
| 3,080 | 6,31 | 12,71 | 63,70 | 127,30 | 637,20 | |
| 1,886 | 2,92 | 4,30 | 9,92 | 14,10 | 31,60 | |
| 1,638 | 2,35 | 3,188 | 5,84 | 7,50 | 12,94 | |
| 1,533 | 2,13 | 2,77 | 4,60 | 5,60 | 8,61 | |
| 1,476 | 2,02 | 2,57 | 4,03 | 4,77 | 6,86 | |
| 1,440 | 1,94 | 2,45 | 3,71 | 4,32 | 9,96 | |
| 1,415 | 1,90 | 2,36 | 3,50 | 4,03 | 5,40 | |
| 1,397 | 1,86 | 2,31 | 3,36 | 3,83 | 5,04 | |
| 1,383 | 1,83 | 2,26 | 3,25 | 3,69 | 4,78 | |
| 1,363 | 1,80 | 2,20 | 3,11 | 3,50 | 4,49 | |
| 1,350 | 1,77 | 2,16 | 3,01 | 3,37 | 4,22 | |
| 1,341 | 1,75 | 2,13 | 2,95 | 3,29 | 4,07 | |
| 1,333 | 1,74 | 2,11 | 2,90 | 3,22 | 3,96 | |
| 1,328 | 1,73 | 2,09 | 2,86 | 3,17 | 3,88 | |
| 1,316 | 1,70 | 2,04 | 2,75 | 3,20 | 3,65 | |
| 1,306 | 1,68 | 2,02 | 2,70 | 3,12 | 3,55 | |
| 1,298 | 1,68 | 2,01 | 2,68 | 3,09 | 3,50 | |
| 1,290 | 1,67 | 2,00 | 2,66 | 3,06 | 3,46 | |
| ∞ | 1,282 | 1,64 | 1,96 | 2,58 | 2,81 | 3,29 |
Значение σо часто называют средней ошибкой. Доверительный интервал ошибки измерения Δ определяется аналогично для измерений µ = tσо. С помощью t легко определить доверительную вероятность ошибки измерений из табл.1.
В исследованиях часто по заданной точности Δ и доверительной вероятности измерения определяют минимальное количество измерений, гарантирующих требуемые значения Δ и pд.
Аналогично уравнению (3) с учетом (5) можно получить
µ = σ arg φ (рд) = σо/t (6)
При Nmin = n получаем
Nmin = σ2t2/σ2o = k2в t2/Δ2, (7)
здесь kв — коэффициент вариации (изменчивости), %; Δ - точность измерений, %.
Для определения Nmin может быть принята такая последовательность вычислений: 1) проводится предварительный эксперимент с количеством измерений n, которое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50; 2) вычисляется среднеквадратичное отклонение по формуле (1); 3) в соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливается требуемая точность измерений Δ, которая не должна превышать точности прибора; 4) устанавливается нормированное отклонение t, значение которого обычно задается (зависит также от точности метода); 5) по формуле (7) определяют Nmin и тогда в дальнейшем в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньше Nmin.
 |
Пусть, например, при приемке сооружений комиссия в качестве одного из параметров замеряет их ширину. Согласно инструкции требуется выполнять 25 измерений; допускаемое отклонение параметра ±0,1 м. Если предварительно вычисленное значение σ = 0,4м, то можно определить, с какой достоверностью комиссия оценивает данный параметр. Согласно инструкции Δ = 0,1 м. Из формулы (7) можно записать t =
Δ/σ = 
·
=1.25. В соответствии с табл. 1 доверительная вероятность для t = 1,25рд = 0,79 это низкая вероятность. Погрешность, превышающая доверительный интервал 2µ = 0,2 м, согласно выражению (4) будет встречаться один раз из 0,79/(1 - 0,79) = 3,37, т. е. из четырех измерений. Это недопустимо. В связи с этим необходимо вычислить минимальное количество измерений с доверительной вероятностью рд, равной 0,9 и 0,95. По формуле (7) имеем Nmin = 0,42 - 1,65/0,12 = 43 измерения при рд = 0,90 и 64 измерения при рд = 0,95, что значительно превышает установленные 25 измерений.
Оценки измерений с помощью σ и σо по приведенным методам справедливы при n > 30. Для нахождения границы доверительного интервала при малых значениях применяют метод, предложенный в 1908 г. английским математиком В. С. Госсетом (псевдоним Стьюдент). Кривые распределения Стьюдента в случае n → ∞ (практически при n > 20) переходят в кривые нормального распределения (рис. 1).
Для малой выборки доверительный интервал
µст = σо αст, (8)
где αст - коэффициент Стьюдента, принимаемый по табл. 2 в зависимости от значения доверительной вероятности рд.
Зная µст, можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки
хд = х ± µст (9)
Возможна и иная постановка задачи. По n известных измерений малой выборки необходимо определить доверительную вероятность рд при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы ± µст. Задачу решают в такой последовательности: вначале вычисляется среднее значение х, σо и αст = µст/σо. С помощью величины αст, известного n и табл. 2 определяют доверительную вероятность.