Измерения. Основные понятия и определения

Бесконечное множество физических объектов, окружающих нас, об­ладает бесконечным множеством различных качеств и свойств. Из этого огромного количества человек выделяет некоторое ограниченное число свойств, общих в качественном отношении для ряда однородных объек­тов и достаточных для их описания. Свойства, для которых могут быть установлены и воспроизведены градации определенного размера, назы­ваются физическими величинами.

В стандарте на термины и определения в области метрологии фи­зическая величина определена как свойство, общее в качественном от­ношении для множества объектов, физических систем, их состояний и происходящих в них процессов, но индивидуальное в количественном отношении для каждого из них.

Качественная сторона понятия физическая величина определяет величину (длина, как характеристика протяженности вообще; электри­ческое сопротивление, как общее свойство проводников электричества и т.п.), а количественная — ее «размер» (длина конкретного предмета, сопротивление конкретного проводника).

Целью измеренияи его конечным результатом является нахождение значения физической величины. Значение физической величины — оценка физической величины в принятых для измерения данной величины еди­ницах. Понятно, что числовое значение результата измерения будет за­висеть от выбора единицы физической величины, Так, в известном мультипликационном фильме «38 попугаев» для измерения длины удава качестве единицы длины была выбрана длина попугая и результат измерения составил 38 попугаев. Если же за единицу длины выбрать узаконенную единицу — метр, то числовое значение длины удава будет иным, хотя размер его остался прежним.

Дисциплина, которая определяет правила, методы измерения, называетсяметрологией. Метрология изучает и имеет дело только с измерениями физических величин, т.е. величин, для которых может существовать физически реализуе­мая и воспроизводимая единица величины. Однако нередко к измерениям неправомерно относят различного рода оценивания таких свойств, которые формально хотя и подпадают под приведенное определение физической ве­личины, но не позволяют реализовать соответствующую единицу. Так, ши­роко распространенную в психологии оценку умственного развития человека называют измерением интеллекта; оценку качества продукции — измерением качества. И хотя в этих процедурах частично используются мет­рологические идеи и методы, они не могут квалифицироваться как измере­ния в смысле, как это принято в метрологии: невозможно себе предста­вить единицу интеллекта или единицу качества, которые к тому же можно было бы реализовать в виде определенной физической меры. Таким обра­зом, в дополнение к приведенному определению, подчеркнем, что возмож­ность физической реализации единицы является определяющим признаком понятия «физическая величина».

В теории измерений вводятся понятия истинного, измеренного и действительного значения физической величины.

Нахождение истинного значения измеряемой физической величины является центральной проблемой метрологии. Стандарт определяет истинное значение как значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях соответствующее свойство объекта. Одним из постулатов метрологии является положение о том, что истинное значение физической величины существует, однако определить его путем измерения невозможно.

В обычном представлении под истинным понимается некое детерминированное значение физической величины, отражающее свойство объ­екта, абсолютно адекватно. Однако измерение как процесс познания количественных определенностей материального мира не должно абстрагироваться от физической природы изучаемых свойств и обязано учитывать те качественные границы, внутри которых те или иные определения имеют смысл.

Рассмотрим пример измерения диаметра круглого диска. Казалось бы, что измерение диаметра диска можно проводить с все более и более высокой точностью, стоит лишь выбрать соответствующие по точности средства измерений. Но когда погрешность средства измерения станет порядка размеров молекулы, мы обнаружим, что наблюдается как бы размывание краев диска, обусловленное хаотическим движением молекул и за каким-то пределом точности само понятие диаметра диска по­теряет свой первоначальный смысл, и дальнейшее повышение точности измерения бесполезно. Очевидно, что понятие «истинного» значения диаметра в этом случае приобретает совсем иной, вероятностный, смысл и можно лишь с определенной вероятностью установить интервал значений, в котором оно находится. Следовательно, приведенное в стандарте определение истинного значения может быть применено лишь для объектов макромира.

Поскольку истинное значение физической величины определить невозможно, в практике измерений оперируют понятием действительного значения. Действительное значение — значение физической величины, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели может быть использовано вместо него. Под измеренным значением понимается значение величины, отсчитанное по отсчетному устройству средства измерения.

Измеряемая физическая величина — физическая величина, подлежа­щая измерению в соответствии с поставленной измерительной задачей.

Влияющая физическая величина — физическая величина непосредст­венно не измеряемая средством измерения, но оказывающая влияние на него или на объект измерения таким образом, что это приводит к иска­жению результата измерения. Так, например, при измерении сопротив­ления резистора влияющей величиной может быть температура, если сопротивление резистора зависит от температуры.

Физический параметр — физическая величина, характеризующая частную особенность измеряемой величины. Например, при измерении напряжения переменного тока в качестве параметров напряжения могут выступать амплитуда колебаний, мгновенное значение напряжения, среднее квадратическое значение и др.

Постоянная величина — физическая величина, размер которой по ус­ловиям измерительной задачи можно считать не изменяющимся за вре­мя, превышающее длительность измерения.

Переменная величина — физическая величина, изменяющаяся по раз­меру в процессе измерения.

5.1 Типы шкал

Понятие «измерение» интерпретируется по-разному. Чтобы уяснить, что понимается под измерением в метрологии, рассмотрим типы шкал, на основе которых формируется представление об объекте.

Различают четыре типа шкал: шкала наименований, шкала порядка, шкала интервалов и шкала отношений.

Шкала наименований основана на приписывании объекту цифр (знаков), играющих роль простых имен: это приписывание служит для нумерации предметов только с целью их идентификации или для ну­мерации классов, причем, такой нумерации, что каждому из элементов соответствующего класса приписывается одна и та же цифра. Такое приписывание цифр выполняет на практике ту же функцию, что и на­именование. Поэтому с цифрами, используемыми только как специ­фические имена, нельзя производить никаких арифметических действий. Если, например, один из резисторов обозначен в схеме R₆, а другой R₁₈, то из этого нельзя сделать заключение, что значения их сопротивления отличаются втрое, а можно лишь установить, что оба они относятся к классу резисторов.

Шкала порядка предполагает упорядочение объектов отно­сительно какого-то определенного их свойств, т.е. расположение их в порядке убывания или возрастания данного свойства. Полученный при этом упорядоченный ряд называют ранжированным рядом, а саму процедуру ранжированием.

По шкале порядка сравниваются между собой однородные объекты, у которых значения интересующих свойств неизвестны. Поэтому ранжи­рованный ряд может дать ответ на вопросы типа — «что больше (меньше)» или, «что лучше (хуже)». Более подробную информацию — на сколько больше или меньше, во сколько раз лучше или хуже, шкала по­рядка дать не может. Очевидно, что назвать процедуру оценивания свойств объекта по шкале порядка измерением можно только с большой натяжкой. Примером шкалы порядка может служить измерение скорости ветра в баллах Бофорта которая измеряется в баллах 0 – баллов (штиль), 2 – балла (легкий ветер), 12 – баллов (ураган).

Шкала интервалов отличается от натуральной тем, что для ее построения вначале устанавливают единицу физической ве­личины. На шкале интервалов откладывается разность значений фи­зической величины, сами же значения остаются неизвестными.

Примерами шкал интервалов являются шкалы температур. На температурной шкале Цельсия за начало отсчета разности темпера­тур принята температура таяния льда С ней сравниваются все другие температуры. Для удобства пользования шкалой интервал между температурой таяния льда и температурой кипения воды разделен на 100 равных интервалов — градусов. Шкала Цельсия распространяется как в сторону положительных, так и отрицательных интервалов. Когда говорят, что температура воздуха равна 25°С, это означает, что она на 25 градусов выше температуры, принятой за нулевую от­метку шкалы (выше нуля).

На температурной шкале Фаренгейта тот же интервал разбит на 180 градусов. Следовательно, градус Фаренгейта по размеру меньше, чем градус Цельсия. Кроме того, начало отсчета интервалов на шкале Фаренгейта сдвинуто на 32 градуса в сторону низких температур.

Деление шкалы интервалов на равные части — градации — устанав­ливает единицу физической величины, что позволяет не только выразить результат измерения в числовой мере, но и оценить погрешность изме­рения.

Результаты измерений по шкале интервалов можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, т.е. определять, на сколько одно значение физическое величины больше или меньше другого. Определить по шкале интервалов, во сколько раз одно значение величины больше или меньше другого, невозможно, поскольку на шкале не определено начало отсчета физической величины. Но в то же время это может быть сделано в отношении интервалов (разностей). Так, разность температур 25 градусов в 5 раз больше разности температур 5 градусов.

Шкала отношений представляет собой интервальную шка­лу с естественным началом. Если, например, за начало температурной шкалы принять абсолютный нуль (более низкой температуры в природе быть не может), то по такой шкале уже можно отсчитывать абсолютное значение температуры и определять не только, на сколько температура Т₁ одного тела больше температуры Т₂ другого, но и во сколько раз больше или (меньше) по правилу: Т₁/Т₂=n.

Шкала отношений является самой совершенной, наиболее информа­тивной Результаты измерений по шкале отношений можно складывать между собой, вычитать, перемножать или делить.

5.2 Уравнение измерений.

Измерение — нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

Раскрывая техническую сторону измерения, это определение не от­вечает на вопрос о его метрологической сущности. Несмотря на то что измерения непрерывно развиваются, становятся все более и более слож­ными, а само определение дополняется с использованием терминологии кибернетики и теории информации, их метрологическая суть остается без изменения и сводится к уравнению измерения

X = n[x], или n = X/[x],

где X — измеряемая величина, [х] — единица величины, n - число. Поэтому необходимо понимать, что любое измерение заключается в сравнении путем физического эксперимента данной величины с некоторым ее значением, принятым за единицу сравнения, т.е. с мерой.

Такой подход выработан практикой измерений, исчисляемой сот­нями лет.

Основываясь на приведенном определении измерения, можно формально утверждать, что понятию «измерение» соответствует лишь такой информационный процесс, при котором определить или измерить одну величину иначе, как приняв в качестве известной другую величину этого же рода и указав соотношение, в кото­ром они находятся».

Однако в технике широко распространены информационные структуры и процессы, в ко­торых измерительная информация необходима и используется в форме сигнала измерительной информации (например, электрического) и явля­ется исходной для решения задач, конечной целью которых является не получение оценки значения физической величины в принятых единицах, а формирование на основе обработки и анализа этого сигнала определенных суждений, логических заключений об объекте (типа «годен — не годен», «исправен — неисправен», «больше — меньше»).

5.3 Способы измерений

По способу нахождения искомого значения измеряемой величины различают прямые, косвенные, совместные и со­вокупные измерения.

Прямое измерение — измерение, при котором искомое значение ве­личины находят непосредственно по показаниям средства измерений (измерение тока амперметром, промежутка времени — секундомером).

Косвенное измерение — измерение, при котором искомое значение величины находят расчетом на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, функционально связанными с искомой и определяемыми посредством измерений. Другими словами, искомое значение физической величины рассчитывают по формуле, а значения величин, входящих в формулу, получают измерениями (измерение мощ­ности, рассеиваемой на сопротивлении, может быть выполнено расчетом по формуле Р = I²R на основании измерения тока / и сопротивления резистора R).

Совместные измерения — одновременные измерения двух или не­скольких разнородных величин для установления зависимости между ними (например, ряд одновременных, прямых измерений электрического сопротив­ления проводника и его температуры для установления зависимости со­противления от температуры).

Совокупные измерения — производимые одновременно измерения не­скольких одноименных величин, при которых искомые значения величин находят решением системы уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин (нахождение значений массы отдельных гирь набора по известному значению массы одной из гирь: сравнивая массы различных сочетаний гирь, получают систему уравнений, из решения кото­рой находят массу каждой из гирь, входящих в набор).

По характеру изменения измеряемой вели­чины в процессе измерений бывают статистические, динамиче­ские и статические измерения.

Статистические измерения связаны с определением характеристик случайных процессов, звуковых сигналов, уровня шу­мов и т.д. Статические измерения имеют место тогда, когда измеряе­мая величина практически постоянна.

Динамические измерения связаны с такими величинами, которые в процессе измерений претерпевают те или иные изме­нения.

Статические и динамические измерения в идеальном виде на практике редки.

По количеству измерительной информации различают однократные и многократные измерения.

Однократные измерения — это одно измерение одной величины, т.е. число измерений равно числу измеряемых величин. Практическое применение такого вида измерений всегда со­пряжено с большими погрешностями, поэтому следует прово­дить не менее трех однократных измерений и находить конеч­ный результат как среднее арифметическое значение.

Многократные измерения характеризуются превышением числа измерений количества измеряемых величин. Обычно минимальное число измерений в данном случае больше трех. Преимущество многократных измерений — в значительном снижении влияний случайных факторов на погрешность измерения.

По отношению к основным единицам измере­ния делят на абсолютные и относительные.

Абсолютными измерениями называют такие, при которых используются прямое измерение одной (иногда нескольких) ос­новной величины и физическая константа. Так, в известной формуле Эйнштейна Е = mс², масса (m) — основная физическая величина, которая может быть измерена прямым путем (взвешиванием), а скорость света (с) — физическая константа.

Относительные измерения базируются на установлении отношения измеряемой величины к однородной, применяемой в качестве единицы. Естественно, что искомое значение зависит от используемой единицы измерений

5.4 МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Под методом измерений понимают совокупность приемов использо­вания принципов и средств измерений, выбранную для решения кон­кретной измерительной задачи. В понятие метода измерений входят как теоретическое обоснование принципов измерения, так и разработка приемов применения средств измерения.

Как известно, искомое значение физической величины находится посредством сопоставления ее с мерой, материализующей единицу этой величины. В зависимости от способа применения различают методы непосредственной оценки и методы сравнения. При из­мерении методом непосредственной оценки искомое значение величины оп­ределяют непосредственно по отсчетном) устройству средства измерения, которое проградуировано в соответствующих единицах. Метод сравнения с мерой— метод измерений, в котором измеряемую величину сравнивают с величиной, воспроизводимой мерой (например, сравнение массы на рычажных весах). Отличительной чертой методов сравнения является непосредственное участие меры в процедуре измерения, в то время как в методе непосредственной оценки мера в явном виде при измерении не присутствует, а ее размеры перенесены на отсчетное устройство (шкалу) средства измере­ния заранее, при его градуировке. Обязательным в методе сравнения являет­ся наличие сравнивающего устройства.

Метод сравнения с мерой имеет несколько разновидностей: нулевой метод, дифференциальный метод, метод замещения и метод совпадений.

Нулевой метод (или метод полного уравновешивания) — метод сравнения с мерой, в котором результирующий эффект воздействия из­меряемой величины и встречного воздействия меры на сравнивающее устройство сводят к нулю.

Рис 1.1. Методы сравнения

При дифференциальном методе полное уравновешивание не производят, а разность между измеряемой величиной и величиной, воспроиз­водимой мерой, отсчитывается по шкале прибора.

Пример. Измерение массы на равноплечих весах, когда воздействие массы m_x, на весы частично уравновешивается массой гирь m₀, а разность масс отсчитывается по шкале весов, градуированной в единицах массы (рис 1.1, б). В этом случае значение измеряемой величины m_x = m₀ +Δm, где Δm — показания весов

Метод замещения — метод сравнения с мерой, в котором измеряемую величину замещают известной величиной, воспроизводимой мерой.

Пример. Взвешивание на пружинных весах Измерение производят в два приема. Вначале на чашу весов помещают взвешиваемую массу и отмечают положение указателя весов; затем массу m замещают массой гирь m₀, подбирая ее так, чтобы указатель весов установился точно в том же положении, что и в первом случае. При этом ясно, что m_x =m₀ (рис. 1.1 в)

В методе совпадений разность между измеряемой величиной и величиной воспроизводимой мерой измеряют, используя совпадения отме­ток шкал или периодических сигналов.

Пример. Измерение числа оборотов вала с помощью стробоскопа - ват периодически освещается вспышками света, и частоту вспышек подбирают гак, чтобы метка, нанесенная на вал, казалась наблюдателю неподвижной Метод совпадений, использующий совпаде­ния основной и нониусной отметок шкал, реализуется в штангенприборах, применяемых для измерения линейных размеров.

5.5 КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Погрешность результата каждого конкретного измерения складыва­ется из многих составляющих, обязанных своим происхождением раз­личным факторам и источникам. Традиционный аналитический подход к оцениванию погрешностей результата состоит в выделении этих со­ставляющих, изучении их по отдельности и последующем суммирова­нии. Зная свойства и оценив количественные характеристики состав­ляющих погрешностей, можно правильно учесть их при оценивании по­грешности результата или, если это возможно, ввести поправки в ре­зультат измерения. Выделив и оценив отдельные составляющие погреш­ности, иногда оказывается возможным так организовать измерение, чтобы эти составляющие не оказали влияния на результат. Естественно, что классифицировать составляющие погрешности можно по многим признакам. В целях единообразия подхода к анализу и оцениванию по­грешностей в метрологии принята следующая классификация.

По характеру проявления во времени выделя­ют систематические и случайные составляющие погрешности (далее, для краткости, будем опускать слово составляющие там, где в этом нет не­обходимости).

Систематической погрешностью измерения называется погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях остается постоянной или закономерно изменяется.

Случайной погрешностью измерения называют погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же усло­виях изменяется случайным образом по знаку и (или) величине. Источником систематической погрешности может послужить, например, неточное нане­сение отметок на шкалу стрелочною прибора, деформация стрелки. Случайная составляющая погрешности возможна из-за трения в опорах подвижной части прибора, колебаний температуры окружающего воздуха, влияния магнитных и электрических промышленных помех и т.п.

Обязательными компонентами любого измерения являются средство измерения, метод измерения и человек, проводящий измерение Несо­вершенство каждого из этих компонентов приводит к появлению своей составляющей погрешности результата. В соответствии с этим, по ис­точнику возникновения различают инструментальные, мето­дические и личные погрешности.

Пример. На рисунке приведен вариант изме­рения сопротивления резистора методом вольт­метра-амперметра. Для нахождения сопротивления R резистора необходимо измерить ток I протекающий через резистор и падение напря­жения U_R на резисторе. В приведенном вариан­те схемы, реализующей принятый метод, падение напряжения измеряется вольтметром, тогда как амперметр измеряет суммарный ток, протекающий через резиcтop и через вольтметр. В результате, измеренное значение сопротивления будет не истинным и будет содержать методическую ошибку. Каждому из приборов, использованных при измерении, присущи оп­ределенные погрешности, причем в общей погрешности прибора может присутствовать и систематическая, и случайная составляющие. Очевидно, что эти составляющие окажут свое влияние на результат измерения, и их следует классифицировать как инструментальные. И, наконец, из-за отсутствия правильных навыков работы с приборами экспериментатор может внести в результат измерения личнуюсоставляющую погрешно­сти из-за неточности отсчета доли деления по шкале, неточности отсчета из-за параллакса, невнимательности и др.

По условиям возникновения у средств измерения различают основную и дополнительную погрешности. Каждое средство измерений предназначено для работы в определенных условиях, указываемых в нормативно-технической документации. При этом отдельно указывают нормальные условия применения средств измере­ния, т.е. условия, при которых величины, влияющие на погрешности данного средства измерения, находятся в пределах нормальной области значений и рабочие условия применения — условия работы, при которых значения влияющих величин выходят за пределы нор­мальных, но находятся в пределах рабочих областей. Погрешность средства измерения, определенная при нормальных условиях, называется основной. Погрешность, обусловленную выходом значений влияющих величин за пределы нормальных значений, называют до­полнительной.

Пример. Амперметр предназначен для измерения переменного тока с номинальной частотой (50±5) Гц Отклонение частоты за эти пределы приведет к дополнительной по­грешности измерения.

Для оценивания дополнительных погрешностей в документации на средство измерений обычно указывают нормы изменения показаний при выходе условий измерения за пределы нормальных.

Выше мы определили статический и динамический режимы работы средства измерения. Соответственно, выделяютстатические и динамическиесоставляющие погрешности. Динамическая составляющая по­грешности возникает при работе средства измерения в динамическом ре­жиме и определяется двумя факторами: динамическими (инерционными) свойствами средства измерений и характером (скоростью) изменения из­меряемой величины. При измерениях детерминированных сигналов дина­мические погрешности обычно рассматриваются как систематические. При случайном характере измеряемой величины динамические погреш­ности приходится рассматривать как случайные.

Стандартизованной является оценка качества измерения с указанием погрешности. При этом предпочтение отдается выражению погрешности измерения в форме относительной погрешности, как наиболее информатив­ной, дающей возможность объективно сопоставлять результаты и оценивать качество измерений, выполненных в разное время или разными эксперимен­таторами. В самом деле, измерив длину стержня l= 1000 мм с погрешно­стью 10 мм (т.е. с относительной погрешностью 0,01 или 1%) и расстояние между двумя станциями метро l₂ — 1 км с такой же абсолютной погрешно­стью 10мм (т.е. с относительной погрешностью 1-10-⁵ или 10-³ %), мы делаем заключение, что хотя абсолютная погрешность измерения в обоих случаях одинакова, первое измерение является достаточно грубым, а второе выполнено с высокой точностью.

Будучи важнейшей характеристикой результата измерения, определяющей степень доверия к нему, погрешность должна быть обязательно оценена. Для разных видов измерений задача оценивания погрешности может решаться по-своему, погрешность результата измерения может оцениваться с разной точностью, на основании разной исходной инфор­мации. В соответствии с этим различают измерения с «точным» (в смыс­ле, с наивысшей достижимой точностью), приближенным и предвари­тельным оцениванием погрешностей.

При измерениях с «точным» оцениванием погрешности учитываются индивидуальные метрологические свойства и характеристики каждого из приме­ненных средств измерения, анализируется метод измерений, контролируются условия измерений с целью учета их влияния на результат измерения.

При измерениях с приближеннымоцениванием погрешностей учитывают лишь нормативные, типовые метрологические характеристики средств измерения и оценивают влияние на результат измерения лишь отклонений условий измерения от нормальных.

Измерения с предварительнымоцениванием погрешностей выпол­няются по типовым методикам выполнения измерений, регламентиро­ванным нормативно-технической документацией, в которых указывают­ся методы и условия измерений, типы и погрешности используемых средств измерений и, на основе этих данных, заранее оценена и указана в методике возможная погрешность результата.

В инженерной практике обычно имеют дело с двумя последними видами измерений и приемами оценивания погрешностей результата изме­рения, относящимся к категории — технические измерения.

При использовании средств измерений часто можно выделить составляющие погреш­ности, не зависящие от значения измеряемой величины (аддитивные) и погрешности, изменяющиеся пропорционально измеряемой величине (мультипликативные). Такие состав­ляющие называют, соответственно, аддитивными и мультипликативны­ми погрешностями. Аддитивной, например, является систематическая погрешность, вызванная неточной установкой нуля у стрелочного при­бора с равномерной шкалой; мультипликативной — погрешность изме­рения отрезков времени отстающими или спешащими часами. Эта по­грешность будет возрастать по абсолютной величине до тех пор, пока владелец часов не выставит их правильно по сигналам точного времени

5.6 ПРИНЦИПЫ ОПИСАНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

В основе современных подходов к оцениванию погрешностей лежат принципы, обеспечивающие выполнение требований единства измерений.

Для целей исследования и оценивания погрешность описывается с помощью определенной модели (систематическая, случайная, мето­дическая, инструментальная и др.). На выбранной модели определяют характеристики, пригодные для количественного выражения тех или иных ее свойств. Задачей обработки данных при измерениях и является нахождение оценок этих характеристик.

Характеристики погрешности (показатели точности) оценивают приближенно; точность оценок согласовывается с целью измерения.

Выбор модели оценки погрешности обусловлен сведениями об ее источниках как априорными, так и полученными в ходе измерительного эксперимента. Модели разделяют на детерминистские и недетерминист­ские (случайные). Для систематических погрешностей справедливы де­терминистские модели, при которых систематическая погрешность по определению может быть представлена постоянной величиной, либо известной зависимостью (линейная, периодическая и другие функции от времени или номера наблюдения). Общей моделью случайной погрешности служит случайная величина, обладающая функцией распределения вероятностей.

Характеристики случайной погрешности делят на точечные и интер­вальные. Для описания погрешностей результата измерения чаще всего используют интервальныеоценки. Это означает, что гра­ницы, в которых может находиться погрешность, находят как от­вечающие некоторой вероятности. В этом случае границы погрешности называют доверительными границами, а вероятность, соответствующую доверительной погрешности, — доверительной вероятно­стью. Однако в некоторых случаях, когда нет возможности или необходимости оценить доверительные границы погрешности (например, неизвестна функция распределения вероятностей погрешности), исполь­зуют точечные характеристики. Так, точечной характе­ристикой являются среднеквадратическое отклонение случайной погрешности, дисперсия.

В целях единообразия представления результатов и погрешностей измерений показатели точности и формы представления результатов измерений стандартизованы.

Сформулированные положения определяют особенности обработки данных, получаемых при измерениях, как прикладной математической за­дачи: во-первых, обработке подвергают принципиально неточные данные; во-вторых, точность методов обработки должна быть согласованна с тре­буемой точностью результата измерения и точностью исходных данных.

В основу выбора оценок погрешностей положен ряд принципов.

Во-первых, оцениваются отдельные характеристики и параметры выбранной модели погрешности. Это связано с тем, что модели погрешностей, как правило, сложны и описываются многими параметрами.

Определение их всех весьма затруднительно, а иногда и невозможно. Кроме этого, в большинстве практических случаев полное описание модели погрешности содержит избыточную информацию, в то время как знание отдельных ее характеристик вполне достаточно для достижения цели измерения.

Во-вторых, оценки погрешности определяют приближенно, с точностью, согласованной с целью измерения. Это обусловлено тем, что погрешности определяют лишь зону неопределенности результата измерения и их не требуется знать очень точно.

В-третьих, погрешности оцениваются сверху, поэтому погрешность лучше преувеличить, чем преуменьшить, так как в первом случае снижается качество измерений, а во втором — возможно полное обесценивание результатов всего измерения. В-четвертых, поскольку стремятся получить реалистические значения оценки погрешности результата измерения, т.е. не слишком завышенные и не слишком заниженные, точность измерений должна соответствовать цели измерения. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств и времени. Недостаточная точность в зависимости от цели измерения может привести к признанию годным в действительности негодного изделия, к принятию ошибочного решения и т. п.

Оценивание погрешностей может проводится до (априорное) и после (апостериорное) измерения. Априорноеоценивание — это проверка возможности обеспечить требуемую точность измерений, проводимых в заданных условиях выбранным методом с помощью конкретных СИ. Оно проводится в случаях:

• нормирования метрологических характеристик СИ;

• разработки методик выполнения измерений;

• выбора средств измерений для решения конкретной измерительной задачи;

• подготовки измерений, проводимых с помощью конкретного СИ.

Апостериорнуюоценку проводят в тех случаях, когда априорная оценка неудовлетворительна или получена на основе типовых метрологических характеристик, а требуется учесть индивидуальные свойства используемого СИ. Такую оценку следует рассматривать как коррекцию априорных оценок.

5.7 Систематические погрешности

Источниками систематических составляющих погрешности измере­ния могут быть все его компоненты: метод измерения, средства измере­ния и экспериментатор Оценивание систематических составляющих представляет достаточно трудную метрологическую задачу. Важность ее определяется тем, что знание систематической погрешности позволяет внести соответствующую поправку в результат измерения и тем самым повысить его точность. Трудность же заключается в сложности обнару­жения систематической погрешности, поскольку она не может быть вы­явлена путем повторных измерений (наблюдений). В самом деле, будучи постоянной по величине для данной группы наблюдений, система­тическая погрешность никак визуально не проявится при повторных измерениях одной и той же величины и, следовательно, экспериментатор затруднится ответить на вопрос — имеется ли систематическая погреш­ность в наблюдаемых результатах. Таким образом, проблема обнаруже­ния систематических погрешностей едва ли не главная в борьбе с ними

Постоянные инструментальные систематические погрешности обычно выявляют посредством поверки средства измерения. Поверкойназывают определение метрологическим органом погрешностей средства измерения и установление пригодности средства измерения к применению. Поверка про­изводится путем сравнения показаний поверяемого прибора с показаниями более точного (образцового) средства измерения. Если на поверяемой от­метке шкалы показания поверяемого прибора Х_ПОВ, а образцового Х_ОБР, то погрешность поверяемого прибора на этой отметке

ΔXпов == Xпов - Xобр.

Для устранения систематической ошибки в этом случае вводится поправка (- ΔXпов).

Пример. При измерении напряжения в сети показания вольтметра 225В. В свидетель­стве о поверке указано, что на этой отметке шкалы систематическая погрешность вольт­метра равна +3 В. С учетом поправки напряжение в сети равно 225 - 3 = 222 В.

Для обнаружения изменяющейся систематической погрешности рекомендуется построить график, на котором нанесены результаты на­блюдений в той последовательности, в какой они были получены. Об­щая картина расположения полученных точек позволяет обнаружить наличие закономерного изменения результатов наблюдений и сделать вывод о присутствии в них систематической погрешности. Простейшим, но частым случаем погрешности, изменяющейся по определенному зако­ну, является погрешность, прогрессирующая по линейному закону, на­пример, пропорционально времени. Такие погрешности могут быть оце­нены и исключены следующим образом. Если известно, что при измере­нии постоянной величины Хо систематическая погрешность изменяется линейно во времени, т.е.

Однако предполагая, что изменение систематической погрешности происходит по линейному закону, не всегда можно быть полностью уверенным, что это именно так. В этом случае для контроля система­тической погрешности применяют метод симметричных наблюдений. Несколько наблюдений выполняют через равные промежутки времени и затем вычисляют средние арифметические симметрично расположенных отсчетов (рис. 2.2), например (x₁ + x₅)/2 и (х₂ + х₄)/2.

Теоретически, при линейной зависимости погрешности от времени, эти средние арифметические должны быть равны — это и дает возмож­ность контролировать ход изменения погрешности. Убедившись, что погрешность изменяется по линейному закону, по формуле (2.2) находят результат измерения.

Систематические составляющие, обусловленные несовершенством методов измерения, ограниченной точностью расчетных формул, поло­женных в основу измерений, влиянием средств измерений на объект, свойства которого измеряются, относятся к методическим погрешно­стям. Единых рекомендаций по обнаружению и оцениванию мето­дических составляющих систематической погрешности нет. Поэтому, задача решается в каждом конкретном случае индивидуально, на основе анализа примененного метода измерений, результаты которого часто зависят от квалификации и опыта экспериментатора.

Δ = 0,99· 10 ^{– 2} · 12,2 = +1,2 В

Таким образом, напряжение источника будет 12,2 + 1,2= 13,4 В

Отметим, что полученная оценка систематической погрешности, в свою очередь, имеет некоторую погрешность из-за погрешностей в опре­делении R_в и R_п, а также из-за наличия инструментальной погрешности вольтметра. Эта погрешность при введении поправки не исключается и называется неисключенным остатком систематической погрешности (неисключенной систематической погрешностью).

Личные систематические погрешности связаны с индивидуальными особенностями наблюдателя. При проектировании современных средств измерения принимаются меры к тому, чтобы максимально исключить возможность появления личных погрешностей. По-видимому, по этой причине принято считать личные погрешности пренебрежимо малыми и при анализе погрешностей не принимать их в расчет.

5.8 Компенсация систематической погрешности

В практике измерений применяется несколько методов, позволяю­щих за счет некоторого усложнения процедуры измерений получить ре­зультат измерения свободным от систематической погрешности. К ним относятся метод замещения, метод противопоставления и метод компен­сации погрешности по знаку.

Метод замещения. Этот метод дает наиболее полное ре­шение задачи компенсации постоянной систематической погрешности и представляет собой разновидность метода сравнения. Сравнение произ­водится путем замены измеряемой величины известной величиной и так, чтобы воздействием известной величины привести средство измерения в то состояние, которое оно имело при воздействии измеряемой величины.

Метод противопоставления. Рассмотрим данный ме­тод на следующем примере.

Метод компенсации погрешности по знаку. Этот метод также предусматривает проведение измерения в два этапа, выполняемых так, чтобы постоянная систематическая погрешность вхо­дила в показания средства измерения на каждом этапе с разными знака­ми. За результат измерения принимают полусумму показаний — систе­матические погрешности при этом взаимно компенсируются.

5.9 Основные понятия теории вероятности и математической статистики

Наблюдения показали, что, несмотря на случайный характер появления ошибок измерения, рассеивание ошибок измерения имеет вполне определенные закономерности. Для таких статистических законов теория вероятностей позволяет представить исход не одного какого-либо события, а средний результат случайных событий и тем точнее, чем больше число анализируемых явлений. Это связано с тем, что, несмотря на случайный характер событий, они подчиняются определенным закономерностям, рассматриваемым в теории вероятностей.

Теория вероятностей изучает случайные события и базируется на следующих основных показателях. Совокупность множества однородных событий случайной величины х составляет первичный статистический материал. Совокупность, содержащая самые различные варианты массового явления, называют генеральной совокупностью или большой выборкой N. Обычно изучают лишь часть генеральной совокупности, называемой выборочной совокупностью или малой выборкой N₁. Вероятностью р(х) события х называют отношение числа случаев N(x), которые приводят к наступлению

события х к общему числу возможных случаев N:

p(x) = N(x)/N.

Теория вероятностей рассматривает теоретические распределения случайных величин и их характеристики.

Математическая статистика занимается способами обработки и анализа эмпирических (основанных на опыте) событий. Эти две родственные науки составляют единую математическую теорию массовых случайных процессов.

В математической статистике важное значение имеет понятие о частоте события у*(х), представляющего собой отношение числа случаев n(х), при которых имело место событие к общему числу событий n: у*(х) = n(х)/n.

При неограниченном возрастании числа событий частота у*(х) стремится к вероятности р(х). Частота у_i0 = n(х)/Σn(х) характеризует вероятность появлений случайной величины и представляет собой ряд распределения (рис. 6.10), а плавная кривая - закон (функцию) распределения F(x). Получение гистограммы на примере исследования ширины шва.

Вероятность случайной величины (события) — это количественная оценка возможности ее появления. Достоверное событие имеет вероятность р = 1, невозможное событие р = 0. Следовательно, для случайного события 0 ≤ р(х) ≤ 1, а сумма вероятностей всех

При измерениях иногда недостаточно знать функцию распределения. Необходимо еще иметь ее характеристики: среднеарифметическое и математическое ожидания,