Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда

Этот метод применяется для выявления основной тенденции изучаемого процесса (неслучайной компоненты). Ее обозначают f(t) и выбирают вид математической функции, соответствующий характеру развития процесса во времени. Чаще всего это линейная функция, полиномиальная, экспоненциальная и т.д. Для выбора функции исходный ряд изображают графически. При выборе полиномиальной функции применяют метод последовательных разностей, состоящий в вычислении разности 1-го порядка Δ_t=y_t-y_t-1, разности 2-го порядка Δ_t²= Δ_t- Δ_t-1, разности 3-го порядка и т.д.

Порядок разности, при котором суммы будут примерно одинаковыми, принимается за степень полинома. Но чаще всего используется метод наименьших квадратов (МНК). При применении данного метода значение временного ряда рассматривается как зависимая переменная у, а время t как факторная переменная. Сам временной ряд представляют в виде: y_t=f(t)+e_t, где e_t – случайная составляющая (возмущение).

Согласно МНК параметры линейной функции находятся из системы уравнений:

Для наглядности представим наш ряд графически:

Для расчета параметров уравнения составим вспомогательную таблицу.

Таблица 13

Полученные суммы подставим в систему уравнений:

Уравнение примет вид:

=296,875+21,367*t.

Ошибка полученного уравнения определяется по формуле:

С целью проверки значимости уравнения тренда рассчитаем 3 вида дисперсии:

· общую . Как видно из таблицы 13 =34748,88.

· остаточную =7356,808.

· обусловленную регрессией =34748,88-7356,808=27392,07.

Найдем критерий Фишера:

=22,34.

Сравним с табличным значением F при α=0,05 и числе степеней свободы k₁=m-1, k₂=n-2.

k₁=1, k₂=6, F_табл=5,99.

Так как F_расч>F_табл, то полученное уравнение можно считать значимым, и оно может быть применено для дальнейшего прогноза.

Составим прогноз на основе полученной модели на ближайшие три года.

· Для 2009 года t=5: =296,875+21,367*5=403,71.

· Для 2010 года t=6: =296,875+21,367*6=425,077.

· Для 2011 года t=7: =296,875+21,367*7=446,444.

Составим интервал прогноза. Для этого рассчитаем несмещенную оценку (среднее квадратическое отклонение):

t=2.45, =35.016*2.45=85.79.

Таблица 14

Интервал прогноза на ближайшие три года

Как правило, автокорреляция присутствует в любом временном ряде, но негативно влияет на качество прогноза. Отсутствие автокорреляции считается хорошим признаком в процессе прогнозирования. Для оценки автокорреляции применяют тест Дарвина-Уотсона. Он основан на идее о том, что если корреляция ошибок регрессии не равна нулю, то она присутствует и в остатках регрессии e_t (e_t=y_t- ). Для данного теста применяется следующая формула:

Для расчета теста Дарвина-Уотсона составим вспомогательную таблицу.

Таблица 15

Расчетное значение сравнивается с табличным. По таблице находится два пороговых значения d_в и d_н, которые зависят от числа наблюдений, числа переменных и уровня значимости. Выделяют 4 возможных варианта:

1. d_в<d<4- d_в – гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.

2. d_н<d< d_в – область неопределенности критерия.

3. 0<d< d_н – автокорреляция положительная.

4. 4- d_н<d<4 – автокорреляция отрицательная.

При уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы равному числу наблюдений найдем значение табличного критерия:

d_н=0,56, d_в=1,78.

Расчетный критерий подходит ко …

Еще одним тестом на наличие автокорреляции является тест Льюинга-Бокса. Он основан на рассмотрении коэффициентов автокорреляции r(τ) и r_{частное}. Он еще носит название Q-тест и проводится на основе критерия:

Рассчитаем для нашего примера:

Q_p=8(8+2) ( ) =83,2.

Распределение критерия Q соответствует распределению Пирсона χ². При уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы m-1=2-1=1 табличное значение равно 3,84.

Так как расчетное значение больше табличного, то автокорреляция присутствует.