Текущее и наращенное значение обычной ренты

Типы рент

Рентой называется последовательность периодических выплат, обычно равных по величине, осуществляемых через равные промежутки времени. Наиболее распространенными примерами рент являются выплаты по облигациям, премии по страхованию, выплаты потребительских кредитов и т.д. Временной интервал между двумя последовательными выплатами называется периодом ренты. Срок от начала первого периода до конца последнего называется сроком ренты. Различают два основных типа рент: безусловные и условные ренты. Безусловные ренты - это ренты с фиксированным сроком, т.е. даты первой и последней выплат определены до начала ренты. Условные ренты - ренты, в которых дата первой или последней выплаты зависит от некоторого события. Например, пенсия или премия по страхованию жизни.

Рента называется обычной, или постнумерандо, если выплаты производятся в конце каждого периода, и авансированной (приведенной, или пренумерандо), если выплаты - в начале каждого периода.

Текущим значением ренты называется денежная сумма, эквивалентная множеству всех выплат в начальный момент ренты. Наращенным значением (суммой) ренты называется сумма, эквивалентная множеству всех выплат в конце всего срока ренты. Для обычной ренты текущее значение определяется за один период до первой выплаты, а наращенное значение - в момент последней выплаты. Очевидно, что и текущее, и наращенное значения зависят от процентной ставки, используемой в уравнении эквивалентности. Так, период ренты может совпадать или не совпадать с периодом начисления процентов. Ренты по этому признаку классифицируются на простые и общие соответственно. В этой главе мы будем рассматривать только простые ренты.

Пример.

Найти текущее и наращенное значение для обычной ренты, состоящей из трех годовых выплат по 100 тысяч рублей каждая, при начислении процентов по ставке 10% годовых.

Решение.

Временная диаграмма выплат для этой задачи приведена на рис. 1.

Рис. 1.

Обозначим через А - текущее, а через S - наращенное значение ренты. Тогда из уравнения эквивалентности получим

В общем случае пусть S - наращенное значение простой обычной ренты, состоящей из и выплат, каждая в размере R. Временная диаграмма выплат приведена на рис. 2.

Рис. 2.

Записывая уравнение эквивалентности для даты последней выплаты, получим

Справа стоит сумма п членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем 1 + i. По формуле суммы геометрической прогрессии

(1)

Выражение

зависящее от n и i, обозначается символом . Таким образом,

(2)

называется множителем наращения простой обычной ренты. Формулу (1) можно переписать в виде

. (3)

Текущее значение А определяется из условия эквивалентности для текущего и наращенного значения обычной ренты, т.е.

Отсюда

(4)

Выражение

обозначается символом , и называется дисконтирующим множителем обычной простой ренты. То есть

(5)

и можно рассматривать как текущее и наращенное значение простой обычной ренты с единичными выплатами.

Пример.

Найти текущее и наращенное значение ренты с выплатами по 320 тысяч рублей в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 24% годовых.

Решение.

Временная диаграмма выплат приведена на рис. 3.

Рис. 3.

Эффективная ставка за месяц равна 2%. Текущее значение вычисляется по формуле (4):

Наращенное значение вычисляется по формуле (1):

ЗАДАЧИ

1. Найти наращенное значение обычной ренты, состоящей из 10 годовых выплат по 40 тысяч рублей каждая, если проценты начисляются по ставке 15% годовых.

2. 52 тысячи рублей выплачиваются в конце каждого месяца в течение двух лет. Найти наращенное значение данной ренты при условии, что проценты начисляются ежемесячно по ставке 2%.

3. Найти текущее значение долга, выплачиваемого в виде обычной ренты, состоящей из 8 квартальных выплат по 170000 рублей. Проценты начисляются по ставке 40% годовых в конце каждого квартала.