Математические методы, применяемые для оптимизации управления технологическими процессами (динамическое программирование, принцип максимума, линейное программирование)

Математические методы, применяемые для оптимизации управления технологическими процессами (классического анализа, множителей Лагранжа, вариационного исчисления)

Основные математические методы, которые применяют для решения задач оптимального управления:

1. Методы исследования, функций классического анализа. Как правило, этот метод используется в тех задачах, для которых известно аналитическое выражение критерия оптимальности. В этом случае можно найти аналитическое выражение для производных. Прировняв нулю производные, получим экстремальные решения оптимальной задачи. Полученные выражения не всегда удается решить в аналитическом виде, поэтому, как правило, применяют ЭВМ.

2. Метод множителей Лагранжа. Обычно он используется при решении задач оптимизации такой же сложности, как и при использовании методов исследования функций классического анализа, но при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные. При использовании метода множителей Лагранжа к требованию возможности получения аналитических выражений для производных от критерия оптимальности добавляется аналогичное требование относительно аналитического вида уравнений ограничений.

3. Методы вариационного исчисления. Их применяют, когда критерий оптимальности задачи представлен в виде функционала

, и решением является неизвестная функция. Методы вариационного исчисления дают возможность свести решение задачи оптимального управления к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера, каждое из которых является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка с граничными условиями на концах интервала интегрирования.

4. Динамическое программирование. Оно является методом решения задач оптимизации многостадийных процессов, для которых критерий оптимальности задастся в виде аддитивной функции критериев оптимальности отдельных стадий.

При динамическом программировании переменные можно рассматривать последовательно, одну за другой. Сам термин «динамическое программирование» возник в результате изучения задач математического программирования, в которых были существенны изменения во времени. Динамическое программирование является единственным вычислительным методом, приводящим к глобальному оптимуму независимо от числа локальных экстремумов (при известной сложности разработки программ для ЭВМ).

5. Принцип максимума. Его используют, когда отыскиваемые управляющие воздействия не принадлежат к классу непрерывных функции или па переменные задачи наложены ограничения типа неравенств. В работах Л. С. Потрягина и его учеников показано, что, если процесс характеризуется системой линейных уравнений, принцип максимума является условием оптимальности.

Принцип максимума может быть использован в задачах о быстродействии. Формулировка задач о быстродействии такова. Требуется так выбрать управляющие воздействия в каждый момент времени, чтобы перевести процесс из заданного начального состояния в заданное конечное за минимальное время. Такие задачи встречаются в технологических процессах сварки.

6. Линейное программирование. Его математический аппарат разработан для анализа задач оптимизаций с линейным критерием оптимальности и линейными ограничениями на области изменения переменных. Общая формулировка задачи линейного программирования заключается в том, чтобы найти max (Х₁, . . ., Х_п) = max (C₁X₁ + С₂Х₂ +•••+ С_пХ_n) при условии, что точка (X₁ . . ., Х_n) принадлежит некоторому допустимому множеству К, определяемому системой

Если требуется найти min f(X₁ ,. Х_п), то используют зависимость

Этот метод применяют при нахождении режимов резания (при оптимизации переходов и проходов), соответствующих паспортным данным станка. Простое округление решения часто приводит к результатам, далеким от оптимальных.