Закон больших чисел и предельные теоремы
Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Или иначе: При большом числе случайных величин их средней результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.
Неравенство Чебышева: для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X) справедливо:
,(4.1)
или
,(4.2)
Если формула (6.1) устанавливает верхнюю границу рассматриваемого события, то (4.2) – нижнюю границу вероятности события, состоящего в том, что отклонения значения случайной величины от математического ожидания не превысит (не будет менее) величины, где – достаточно малая величина.
В приложении к выборочному методу неравенство Чебышева может быть сформулировано так: при неограниченном увеличении числа наблюдений () в генеральной совокупности с ограниченной дисперсией с вероятностью близкой к единице можно ожидать, что отклонение выборочной средней () от генеральной средней будет сколь угодно мало: при . Эту вероятность в теореме А.М. Ляпунова (1901г.) используют для определения ошибки наблюдений.
, (4.3)
где - нормированная формула Лапласса.
– средняя квадратическая или стандартная ошибка выборки.
. (4.4)
Пусть надо измерить некоторою величину, истинное значение которой равно a. Пусть результат каждого измерения – случайная величина Xi (i=1,2,…,n). Если при измерениях отсутствует систематические погрешности, то M(Xi)=a при любом i. Тогда средняя арифметическая результатов и измерений сходится по вероятности к истинному значению a.
(4.5)
Дисперсия средней случайной величины Xi равна
(4.6)
Среднее квадратическое отклонение ошибок выборки
, (4.7)
. (4.8).
Зная выборочную среднюю и предельную ошибку выборки можно определить границы, в которых размещена генеральная средняя .
Величина средней квадратической ошибки простой случайной повторной выборки может быть определена по формуле:
, (4.9)
т.е. чем больше вариация признака в генеральной совокупности, тем больше ошибка выборки.
Величину называют предельной ошибкой для определения значения вероятности. Если требуется оценить среднюю генеральной совокупности с вероятностью 0,9545, то надо получить значение выборочной средней из соотношения (функция Лапласа).
Для выборки объема предельная ошибка может быть определена из соотношения .
t | 1,00 | 1,96 | 2,00 | 2,58 | 3,00 |
F(t) | 0,683 | 0,9500 | 0,9545 | 0,9901 | 0,9973 |
– это предел возможной ошибки (правило «трех сигм»).
Формула предельной ошибки выборки используется не только для оценки пределов, в которых находится изучаемый признак в генеральной совокупности, но и для определения необходимого объема выборки при заданной ее ошибке. Третий тип задач, которые могут быть решены с использованием предельной ошибки выборки, – это определение вероятности, с которой можно гарантировать, что ошибка выборки не выйдет за заданные пределы.
Величина дисперсии генеральной совокупности принципиально не известна и можно говорить лишь о ее оценке по результатам одной выборки.
–для простой случайной выборки.
При , поправка становится 3,5% (30/(30-1)), поэтому ею можно пренебречь.