Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Рассмотрим систему n испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании. В этом случае вероятность m успехов вычисляется по формуле Бернулли, прямое использование которой затруднено при больших n (n>10).

Рассмотрим приближенную формулу для вычисления вероятности того, что число успехов содержится в пределах отдо : .

Представим величину m как сумму случайных величин ξ₁+ ξ₂+…+ ξ_n (индикаторы успеха):

m= ξ₁+ ξ₂+…+ ξ_n

Учитывая, что M[m]=np, D[m]=npq, введем случайную величину

,

распределение которой, согласно центральной предельной теореме, асимптотически (при n→∞) приближается к стандартному нормальному распределению N(0;1²).

Поэтому

.

Эта формула называется интегральной теоремой Муавра-Лапласа.

Пример 3.1..2. Серия Бернулли содержит n=100 испытаний, причем вероятность появления события A в каждом испытании равна р=0,8. Найти вероятность того, что число успехов 75≤m≤90.

Решение:

Глава 2.2. Закон больших чисел.