Решение уравнения Шредингера одномерного осциллятора при помощи операторов рождения и уничтожения
Существует более простой и современный метод решения уравнения Шредингера гармонического осциллятора, основанный на представлениях об операторах рождения и уничтожения. Кроме того, в этом параграфе воспользуемся формализмом Дирака.
Введем операторы:
, . (3.68)
Прямым вычислением легко показать, что их коммутатор
[ ]=1. (3.69)
Гамильтониан одномерного квантового осциллятора записывается с помощью этих операторов в виде
. (3.70)
Удобно определять в дальнейшем энергию в единицах тогда . Используя (3.69), нетрудно показать, что
. (3.71)
En = n+1/2, т.е.
. (3.72)
Тогда и - собственные состояния (ненормированные) с энергией +1 и 1 соответственно. Действительно,
, (3.73)
. (3.74)
Таким образом, действие оператора на состояние переводит его в состояние , то есть повышает энергию состояния на единицу, , а действие оператора a на состояние переводит его в состояние , то есть понижает энергию состояния на единицу.
Интерпретация: состояние содержит n одинаковых частиц (квантов) с энергией E = каждая. Оператор называют повышающим оператором или оператором рождения такой частицы, а оператор - понижающим оператором или оператором уничтожения. Состояние , соответствующее условию n=0 (отсутствию возбуждений) называется основным состоянием. Понизить энергию этого состояния нельзя, поэтому это состояние должно удовлетворять уравнению .
Заметим, что собственные значения оператора
(3.75)
равны n, поэтому называют оператором числа частиц. Найдем коэффициент cn . Для этого вычислим норму вектора :
= . (3.76)
Таким образом, нормированное состояние должно быть определено, как
. (3.77)
Отличные от нуля матричные элементы операторов рождения и
уничтожения равны
. (3.78)
Прямым вычислением легко показать, что
, ,
.
Как уже отмечалось, волновая функция основного состояния может быть найдена из условия
. (3.79)
Это сразу же дает
. (3.80)
Для волновой функции с n >0 получаем компактное выражение
. (3.81)
Очевидно, что эти состояния (волновые функции) ортонормированны. Это легко показать, используя соотношения коммутации (3.69) и условие (3.79).
Квантовый осциллятор в электрическом поле.Гамильтониан одномерного осциллятора в электрическом поле F, направленном вдоль оси х, имеет вид
(3.82)
где .
Введём операторы , тогда
. (3.83)
Все коммутационные соотношения для новых операторов совпадают с коммутационными соотношениями для операторов и . Очевидно, что
, (3.84)
где
. (3.85)
Рассмотрим оператор координаты
. (3.86)
В отсутствии поля все малые колебания происходят вокруг . Электрическое поле просто сдвигает положение из нуля в точку .
Глава 4. Момент импульса