Потенциальные барьеры

Рассмотрим задачу, когда на одномерную потенциальную ступеньку налетает частица. Если выполняется условие, что размер области изменения потенциальной энергии Dx мал по сравнению с волной де Бройля частицы , то тогда можно считать барьер прямоугольным, для которого .

В классическом случае, если энергия налетающей частицы E < U₀, то частица с достоверностью отражается и в правую область не проникает. Если ее энергия E > U₀, тогда частица с достоверностью проходит над барьером и в правой области она движется с меньшей скоростью . В рамках квантово-механического рассмотрения решается уравнение Шредингера в области до порога x < 0 и после порога x > 0, а затем решения “сшиваются” на границе (x = 0).

Прямоугольный потенциальный барьер.

Пусть на прямоугольный потенциальный барьер (Рис.3.6) слева падает поток частиц с полной энергией , меньшей величины барьера.

Рис.3.6. Прохождение частицы сквозь прямоугольный потенциальный барьер.

Потенциальная энергия

(3.25)

Разобьем пространство на три части I, II и III. В I и III областях имеем уравнение Шредингера для свободной частицы:

. (3.26)

Его решения:

I область , (3.27)

III область . (3.28)

Во II области имеем:

. (3.29)

Соответствующее решение под барьером

(3.30)

Волна exp(ikx) движется в положительном направлении оси x, а волна exp(-ikx) - в обратном. В III области не будет волны в обратном направлении оси x, т.к. из бесконечности нет потока частиц. Окончательно

. (3.31)

На границах полная волновая функция и ее первая производная непрерывны. Эти граничные условия дают систему уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D и G.

При x = 0 . (3.32)

При x = a . (3.33)

Введем коэффициенты отражения и прохождениякак отношение плотностей потока

. (3.34)

В I области поток вправо определяется волной, распространяющейся вдоль оси x, . Поэтому

(3.35)

Поток влево в I области определяется волной , а

(3.36)

Коэффициент отражения определяется

(3.37)

Коэффициент прохождения (поток пройденной волны определяется волной ):

(3.38)

В первой паре уравнений (3.32) сложим два уравнения, избавляясь от коэффициента В.

Во второй паре уравнений (3.33) делим на a второе уравнение, затем складывая и вычитая, получаем следующие два соотношения:

Выражая отсюда 2С и 2D и подставляя их в предыдущее уравнение, имеем

Раскрывая скобки, получаем

Введем гиперболический косинус и гиперболический синус:

Для них выполняется теорема Пифагора

Тогда:

Теперь, раскрывая скобки и учитывая теорему Пифагора, получаем для отношения квадратов:

. (3.40)

Здесь .

Результирующее выражение для коэффициента прохождения имеет вид

. (3.41)

Исследование коэффициентов прохождения и отражения.То, что коэффициент прохождения не равен нулю при полной энергии частицы меньшей потенциального барьера E < U₀ – называется туннельным эффектом. В классической физике ничего подобного нет, туннельный эффект – чисто квантовый эффект.

При условии aa >> 1 можно получить для коэффициента прохождения Т:

,

или

Коэффициент отражения определяется соотношением . Подставляя решения системы уравнений (3.32) - (3.33), получаем

. (3.42)

Как и должно быть из закона сохранения вероятности

. (3.43)

Случай E > U₀.

Решение получается тем же путем, как и ранее, только в области II имеем решение, описывающее движение свободной частицы с . В итоге мы получаем те же формулы для коэффициентов прохождения и отражения, только "a" меняем на "ia" и "Sh" на "-iSin":

, (3.44)

. (3.45)

В общем случае мы имеем коэффициент отражения не равный нулю (и ), т.е. частица может отразиться от барьера и при энергии, превышающей величину барьера, когда по классической механике частица проходит с достоверностью над барьером.

Однако, есть характерные энергии, когда коэффициент отражения равен 0, а коэффициент прохождения равен 1:

(3.46)

При таких энергиях частица пролетает над барьером с достоверностью и при квантовом рассмотрении. Заметим, что при этом целое число полуволн де Бройля укладывается на барьере, чему соответствует условие .

Аналогичное решение для коэффициентов прохождения и отражения получаем для барьера в виде прямоугольной ямы, при этом меняется только "U₀" на "-U₀".

Отметим, что в общем случае коэффициент отражения не равен нулю. Коэффициент прохождения обращается в единицу только для таких энергий когда на размере ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.