Аддитивные функции полезности
Пусть Х представляет собой непустое подмножество декартова произведения n множеств Х1
Х2…Хn, и пусть определено отношение предпочтения 
на Х. Будем говорить, что u является аддитивной функцией полезности для отношения на Х тогда и только тогда, когда она является вещественной функцией полезности на Х и существуют вещественные функции u1, u2,…,un (определенные на Х1, Х2,…, Хn соответственно), такие, что для всех x=(x1, x2,…, xn) из Х справедливо равенство
u(x1, x2,…, xn)=u1(x1)+u2(x2)+…+ un(xn). (1.8)
Аналогично u является совершенной аддитивной функцией полезности для отношения на Х, если она совершенная функция полезности, и существуют функции полезности ui, такие, что выполняется равенство (1.8).
Чтобы сформулировать условия независимости, которые должны гарантировать аддитивность функции полезности, потребуются некоторые новые понятия, и прежде всего отношение эквивалентности (
). Соотношение (x1, x2,…, xm)(y1, y2,…, ym) имеет место тогда и только тогда, когда каждый x1, x2,…, xm лежит в Х (m - некоторое целое положительное число больше единицы) и для каждого i от 1 до m набор x1, x2,…, xm является перестановкой (переупорядочением) набора y1, y2,…, ym. Если равенство (1.8) выполняется и (x1, x2,…, xm)(y1, y2,…, ym), то u(x1)+u(x2)+…+u(xm)=u(y1)+u(y2)+…+ym; последнее равенство получается, если сделать соответствующую подстановку в (1.8) и сократить одинаковые члены ui. Следовательно, если (x1, x2,…, xm)(y1, y2,…, ym) и u является аддитивной функцией полезности для отношения на Х, то не может выполняться отношение хkуk для k= 1, 2,...m, а если u - совершенная аддитивная функция полезности для на Х, то не справедливы отношения xk 
уk для k=1, 2,...,m и xkуk для некоторого k.
Предположим, что Х - конечное множество. Тогда для (x1, x2,…, xm)(y1, y2,…, ym) отношения на Х аддитивная функция полезности существует тогда и только тогда, когда для каждого отношения эквивалентности является ложным условие, что xkyk для всех k от 1 до m.
Жесткие ограничения на структурные характеристики приводят к тому, что различные совершенные аддитивные представления функции полезности для специального отношения на Х связаны одинаковыми аффинными преобразованиями. Пусть u - совершенная аддитивная функция полезности для отношения на Х и функции u1, u2,…,un удовлетворяют равенству (1.8). Тогда u* с соответствующими функциями 
из (1.8) является также совершенной аддитивной функцией полезности для отношения на Х, если и только если существуют действительные числа b, c1, c2,…,cn (b>0) такие, что u*=bu(x)+c1+c2+…+cn для всех х из Х и для каждого i=1 от 1 до n
2 справедливо равенство 
(xi)=bui(xi)+ci для всех xi из Xi.
Эта особенность функций ui существенно упрощает их масштабирование и оценку. В тех случаях, когда множество Х конечное или не обладает «удобной» структурой, функции ui не будут иметь указанную особенность и могут потребоваться различные оценочные приемы.
Вернемся теперь к рассуждениям, связанным с изучением отношения предпочтения на множестве Р простых распределений вероятностей, заданных на подмножестве Х декартова произведения n множеств X1Х2…Хn. Пусть задано p из множества Р; тогда pi; называется маргинальным распределением p на Xi.
Рассмотрим только совершенные линейные функции полезности, Допустим, что выполняются аксиомы В1, В2, В3 (из подраздела 1.2.2).
Вещественная функция u на Р является совершенной аддитивной линейной функцией полезности для отношения на Р тогда и только тогда, когда она является совершенной линейной функцией полезности для отношения на Р (подраздел 1.3.1) и для ее дополнительной функции v, определенной на Х с помощью формулы (1.5), существуют вещественные функции vl, v2,…,vn, заданные на X1, X2,…,Xn, такие, что для всех x из Х справедливо равенство
v(x1, x2,…, xn) = v1 (x1)+v2(x2)+...+vn(xn). (1.9)
Пусть выполняется равенство (1.9) и ui (pi) определены как математическое ожидание vi с распределением вероятностей pi на xi; тогда u(р) =u(p1)+u(p2)+…+un(pn) для всех p из Р.