Матричное описание циклических кодов.

Циклические коды.

Лекция 9

Тема 6. Построение кодов заданой помехоустойчивости. Применение недвоичных помехоустойчивых кодов.

Напомним еще раз, о методе кодирования в циклических линейных кодах.

Образование кодовых слов (кодирование) KC выполняется путем умножения информационного полинома (информационный полином – полином с коэффициентами, являющимися информационной последовательностью) И_i(X) порядка i<k на образующий полином:

КС_m+i(Х) = g_m(X) * И_i(X) .

Циклические коды можно, как и любые линейные коды, описывать с помощью матриц.

Вспомним, что KC(X) = g_m(X)*И(Х) .

Это соответствует описанному выше упрощенному способу умножения матриц:

Образующая матрица ||OM|| это (k*n) - это матрица, при помощи которой происходит построение циклического кода. Образующая матрица получается в результате k- кратного циклического сдвига кодовой комбинации, соответствующей первой строке образующей матрицы. Первая строка образующей матрицы получается путем добавления слева от коэффициентов полинома g_m(X) такого числа нулей, чтобы общая длина кодовой комбинации была равна n.

Например, образующий полином имеет вид G(X)=111010001=X⁸+X⁷+X⁶+X⁴+1 при n=15 и k=7. Тогда первая строка образующей матрицы примет вид: 000000111010001, а вся матрица:

0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Таким образом видно, что, если в качестве строк образующей матрицы взять наборы сдвинутых вправо коэффициентов образующего полинома, вычисление кодовых слов при помощи матриц полностью эквивалентно вычислению кодовых слов при помощи полиномов.