Многошаговые методы, использующие неявные разностные схемы

На практике они называются методами прогноза и коррекции или (методами предиктор-корректор).

Суть их состоит в том, что на каждом шаге расчета вводятся 2 этапа, использующие многошаговые методы:

а) с помощью явного метода (предиктора) по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное значение y_i+1 = в новом узле;

б) используя неявный метод (корректор) в результате итераций находятся приближения ,... Посредством корректора итерации продолжаются до тех пор, пока и не совпадут по желаемой точности и затем осуществляется переход к следующей точке сетки, т.е. по рассмотренному выше алгоритму определяется значение y_i+2. Одним из вариантов метода прогноза и коррекции является метод на основе метода Адамса четвертого порядка.

Вид разностных соотношений на этапе предиктора

; (27)

на этапе корректора

. (28)

В (27) и (28) используются не Df_i (конечные разности), а значения правой части (4), что удобнее для реализации на ЭВМ. Явная схема (27) используется на каждом шаге лишь один раз, а с помощью неявной схемы (28) строится итерационный процесс вычислений y_i+1, поскольку это значение входит в правую часть выражения f_i+1 = f(x_i+1, y_i+1).

В данных формулах, как и в случае метода Адамса, при вычислении y_i+1 необходимы значения сеточной функции в четырех предыдущих узлах: y_i–3, y_i–2, y_i–1, y_i. Расчет по этому методу может быть начат только со значения y₄.

Необходимые при этом значения y₁, y₂ и y₃ находятся по методу Рунге-Кутта, y₀ задается начальным условием.

Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений, а также на дифференциальных уравнений n-го порядка.