Метод Эйлера с пересчетом

При данном подходе рекуррентное соотношение (14) видоизменяется, а именно, вместо f(x_i, y_i) берут среднее арифметическое между f(x_i, y_i) и f(x_i+1, y_i+1).

Тогда

(15)

Это неявная схема. Она реализуется в две итерации: сначала находится первое приближение по (14), считая y_i начальной

, (16)

затем (16) подставляется в правую часть (15) вместо y_i+1

(17)

Геометрическая интерпретация метода:

С помощью метода Эйлера с пересчетом можно производить контроль точности, сравнивая y_i+1 и ỹ_i+1.

На основании этого можно выбирать шаг. Если величина |ỹ_i+1 – y_i+1| сравнима с заданной точностью e, то шаг можно увеличивать, если больше, то уменьшать, т.е. имеет место схема двойного просчета с оценкой погрешности по величине

» ,

где y(x_i) – точное решение в точке х = x_i, а y_i и y^*_i приближенные значения, полученные с шагом h и h/2 соответственно