Численные методы решения задачи Коши
Задача Коши для ОДУ
В зависимости от вида ДУ (1) задача Коши формируется следующим образом.
1. Если n = 1, то требуется найти Y = Y(x), удовлетворяющую уравнению:
(4)
и принимающую при x = x0 заданное значение Y0:
Y(x0) = Y0 . (5)
Для определенности будем считать, что решение нужно получить для значений x > x0. В качестве начального значения может быть произвольное x, но чаще всего принимают x0 = 0, что не влияет на разработку численного метода для (4). Заметим, что все численные методы разработаны для решения ОДУ именно первого порядка.
2. Задача Коши для ОДУ n-го порядка
; (6)
найти Y = Y(x), удовлетворяющую (6) и начальным условиям
, 
, …, 
; (7)
где 
– есть заданные числа.
3. Задача Коши для системы ДУ:
(8)
Задача Коши для системы (8) заключается в отыскании Yi(x) (
), удовлетворяющих (8) и начальным условиям:
; 
; … ; 
. (9)
Численные методы для решения ОДУ (4) и (5) применяются и для решения (8) и (9).
Дифференциальное уравнение n-го порядка (6) может быть приведено к системе (8) путем введения новых неизвестных функций Yi(x),
:
,
, …,
. (10)
Тогда (6) запишется следующим образом
Если удается найти общее решение для (4), (6), или системы (8), то задача Коши сводится к отысканию значений произвольных постоянных. Как правило, она решается приближенно.
Для решения задачи Коши (4) и (5) по технологии разностных методов введем последовательность точек x0, x1, ..., xn и шаги hi = xi+1 – xi (i = 0,1,..., n–1). В каждом узле xi вместо значений функции Y(xi) вводятся числа yi, как результат аппроксимации точного решения Y(x) на данном множестве точек. Функцию y, заданную в виде таблицы {xi, yi} называют сеточной функцией. Заменяя значение производной в уравнении (4) отношением конечных разностей осуществляем переход от дифференциальной задачи (4), (5) относительно функции Y(x) к разностной задаче относительно сеточной функции
; (11)
y0 = Y0 . (12)
Это разностное уравнение в общем виде, а конкретное выражение правой части для (11) зависит от способа аппроксимации производной. Для каждого численного метода получается свой вид уравнения (11).
Если в правой части уравнения (11) отсутствует yi+1, т.е. значение yi+1 вычисляется по k предыдущим значениям yi, yi–1, ..., yi–k+1, , то разностная схема называется явной. При этом имеет место k-шаговый метод: k = 1 – одношаговый, k=2 – двухшаговый и т.д., т.е. в одношаговых методах для вычисления yi+1 используется лишь одно найденное значение на предыдущем шаге yi, в многошаговом – многие из них.
Если yi+1 входит в правую часть (11), то это будут неявные методы, реализация которых носит только итерационный характер.