Погрешность численного дифференцирования

Формула правых разностей

Формула левых разностей

; ;

. (2)

; ;

. (3)

3.Формула центральных разностей

; ;

. (4)

Используя соотношения (2), (3), (4) последовательно можно получить выражения для вычисления производных высших порядков. К примеру, используя (3), получим:

. (5)

Открытым остается вопрос точности.

Аппроксимируя исследуемую функцию, ее представляют в виде:

. (6)

В качестве j(x) можно принять либо интерполяционную функцию, либо частичную сумму ряда. Тогда погрешность аппроксимации R(x) определяется остаточным членом ряда или P_n–1(x). Дифференцируя (6) необходимое число раз находим:

и т.д.

Тогда погрешность аппроксимации при численном дифференцировании функции, заданной таблицей с шагом h зависит от h, и ее записывают в виде О(h^k). Показатель степени k называют порядком погрешности аппроксимации производной. При этом предполагается, что |h| < 1.

Оценку погрешности формул (2) – (5) можно проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора.

Пусть дважды непрерывно дифференцируемая функция f(x) задана таблицей значений.

Где y_i = f(x_i), i = . Пусть далее узлы равностоящие, h = (x_n – x₀)/n, x_i = x₀ + ih, .

Ряд Тейлора в общем виде:

(7)

Запишем (7) при x = x₁, с точностью до h¹:

y₀ = y₁ – y'₁h + O(h²).

Тогда y'₁ = .

Это выражение совпадает с (2) и является аппроксимацией первого порядка (k = 1). Тогда для произвольного узла .

А по всему отрезку [a,b], где h = (b-a)/n для f '(x) погрешность не превысит величины R = .

Полагая для (7) Dx = h, можно получить этот результат и для соотношения (3). Для оценки погрешности для (4) и (5) воспользуемся рядом Тейлора, полагая Dx = –h и Dx = h соответственно получим:

; (8)

;

в предположении, что f(x) трижды непрерывно дифференцируемая функция.

Вычитая из второго равенства первое, получаем:

+О(h²), здесь k = 2.

Для произвольного узла:

.

На основании (7) по всему отрезку погрешность аппроксимации не превзойдет величины:

.

Складывая равенства (8) найдем:

+О(h²), k = 2.

Для отрезка [x_i–1, x_i+1] получим:

, i = .

А погрешность на отрезке [a, b] для второй производной оценивается соотношением:

.

Следует отметить, что, вообще говоря, приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Считают, что при численном дифференцировании функции y = f(x), заданной таблично, имеют место два типа погрешностей:

а) погрешности усечения, которые вызываются заменой функции y = f(x) интерполяционным многочленом P_n(x);

б) погрешности округления, которые вызываются неточным заданием исходных значений y_i.

При этом известно, что с уменьшением шага численного дифференцирования погрешность округления возрастает, а погрешность же усечения, как правило, убывает. Поэтому при вычислениях по формулам численного дифференцирования стоит задача и оптимального выбора шага h.