Понятие численного интегрирования
Постановка задачи
Вычисление многочленов
Из вышеизложенного очевидно, что при аппроксимации очень часто приходиться вычислять значения многочленов вида:
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn . (54)
Если считать в лоб, то нужно (n2+n/2) умножений, n сложений и плюс округления при этих операциях. Поэтому для вычисления используют схему Горнера.
P(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + …+ x(an–1 + xan) … )) . (55)
Здесь требуется n умножений и n сложений.
Алгоритм реализации (54) согласно (55):
Раздел 6. Численное интегрирование
Во многих научных и технических задачах интегрирование функций является важной составной частью математического моделирования площадей и объемов, значений работы, произведенной некоторыми силами и многие другие технические задачи. Напомним, что геометрический смысл простейшего определенного интеграла
, (1)
от f(x) ³ 0, как известно, состоит в том, что значение величины I – это площадь, ограниченная кривой y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b
Рис. 6.1
Во многих случаях, когда функция f(x) в (1) задана в аналитическом виде, определенный интеграл вычисляется непосредственно с помощью неопределенного интеграла (посредством первообразной) по формуле Ньютона-Лейбница:
. (2)
Однако формулой (2) на практике можно воспользоваться не всегда, а именно:
– когда вид f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразная F(x) не выражается в элементарных функциях;
– если значения f(x) заданы в табличной форме.
Универсальным подходом для решения поставленной задачи является использование методов численного интегрирования, основанных на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов различных степеней.
Следует подчеркнуть, что основная идея численного интегрирования заложена уже в определении известного интеграла Римана от f(x), формально записанного в виде (1). Напомним суть этого определения.
Пусть вещественная функция f(x) определена и ограничена на интервале [a, b]. Разобьем его на n произвольных частичных интервалов [xi, xi+1], 0£i£n–1, x0 = a, xn = b.
Выберем в каждом частичном интервале произвольную точку x, xi£x£xi+1 и составим, так называемую, интегральную сумму (рис. 6.1).
. (3)
Если предел S при стремлении длины наибольшего частичного интервала к нулю существует для произвольных xi, то его называют интегралом Римана от f(x):
. (4)
Тогда сумма (3) и дает простейший пример численного интегрирования. А ее верхняя S2 и нижняя S1 суммы определяют величину погрешности S, а именно:
(5)
Существующие на практике формулы численного интегрирования, по существу, отличаются от (3) только явным указанием способов:
1) выбора xi, xi;
2) ускорения сходимости в (4);
3) оценки погрешности посредством дополнительной информации о поведении f(x) (например, что f(x) Î C2[a,b]).
В качестве рабочего инструмента численного интегрирования вводится понятие квадратурной формулы для (1). Для этого обобщим понятие интегральной суммы (3). Точки xi (рис. 6.1), в которых вычисляются значения f(x) называются узлами, а коэффициенты (xi+1 – xi) в (3) заменяют некоторыми числами qi, не зависящими от f(x), называемыми весами. Формула (3) заменяется следующей:
, (6)
где a £ xi £ b.
Очевидно, что интеграл (1) согласно (5) следует записать в виде:
. (7)
Формула (7) и называется квадратурной формулой, а R в (7) – погрешностью квадратурной формулы. При наличии альтернативы при выборе численных методов интегрирования следует заметить, что каждая конкретная квадратурная формула считается заданной, если указано, как выбирать xi, соответствующие веса qi, а также методика оценки погрешности R для определенных классов функций.