Метод секущих
Этот метод является модификацией метода Ньютона в плане его реализации, т.е. задача поиска корня связана лишь с вычислением значения функции f(x). Заменив производную f '(xn) в методе Ньютона так называемой разделенной разностью по двум точкам xn и xn + hn, где hn – некоторый малый параметр, получим итерационную формулу
, n = 0,1,2,… , (9)
которая называется методом секущих.
Приближение xn+1 является абсциссой точки пересечения секущей прямой, проведенной через точки (xn, f(xn)) и (xn+hn , f(xn + hn)) с осью х.
Метод также одношаговый и при удачном подборе параметра h его сходимость, как и у метода Ньютона при упрощении его реализации.
Имеются другие интерпретации формулы (9). В частности, метод Вегстейна, в котором для выбора параметра h используют предыдущую расчетную точку, т.е. берут hn= xn–1 – xn, тогда (9) имеет вид:
, n = 0,1,2,… (10)
Метод Вегстейна, очевидно, двухшаговый (m = 2), т.е. для вычисления требуется задать 2 начальные точки приближения, лучше всего x0 = а; x1 = b. Он медленнее метода секущих, однако, требует в 2 раза меньше вычислений f(x) и поэтому оказывается более эффективным.
Целесообразным является использовать подходы к уточнению корня не выпускающие корень из выделенной «вилки», (отрезка [a, b]).
Так, если f(b)×f "(x) > 0 для x Î [a,b], берут в качестве x0 = a и уточнение корня производится по формуле
, n=0,1,2,…, (11)
а если f(a)×f "(x) > 0 для x Î [a,b], берут в качестве x0 = b и уточнение корня производится по формуле
, n=0,1,2,… (12)