Метод Ньютона (касательных)

Данный метод является модификацией метода простой итерации. Если функция f(x) непрерывна и дифференцируема, то выбрав в (6) получим эквивалентное уравнение в виде x = x – f(x)/f '(x) = j(x), f '(x) ¹ 0.

Подбором y(x) добиваются, чтобы в (7) q = j'(x^*) º 0, что обеспечивает большую скорость сходимости в рекуррентном соотношении метода в близи искомого корня

, n = 1,2,… (8)

Это также одношаговый метод.

Геометрическая интерпретация метода представлена на рисунке.

Проблематичным является выбор x₀ в виду узости области сходимости вычисления производной. Часто при неудачном выборе x₀ нет монотонного убывания последовательности |f(x_n)|, поэтому рекомендуется вычисления проверить по модифицированной схеме

n = 0,1,2,…

Здесь сомножители a_n Î [0,1] выбирают так, чтобы выполнялось неравенство

| f(x_n+1)| < | f(x_n)| .

При выборе начального приближения х₀ предпочтительней использовать заведомо сходящийся метод, например, метод деления отрезка пополам.