Постановка задачи
Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы
Точность получения элементов обратной матрицы естественно оценивается соотношением
А–1×А = А0 = Е.
Однако в общем случае элементы обратной матрицы получаются с некоторой погрешностью, которая появляется в результате округлений в процессе вычисления и большого числа арифметических операций. Для уменьшения погрешностей используется итерационная схема уточнения элементов обратной матрицы.
Пусть для неособенной матрицы А получено приближенное значение элементов матрицы А–1. Обозначим ее через D0 » A–1. Тогда для уточнения элементов обратной матрицы строится следующий итерационный процесс:
Fk–1 = E–ADk–1 , k =1,2,3… ; (*)
Dk = Dk–1(E + Fk–1); k = 1,2,3… (**)
Доказано, что итерации сходятся, если начальная матрица D0 достаточно близка к искомой А–1.
В данной итерационной схеме матрица F на каждом шаге как бы оценивает близость матрицы D к А–1.
Схема работает следующим образом.
Сначала по (*) при k = 1 находится F0 = E–AD0, затем находится произведение D0F0.
По итерации (**) при k = 1 находится D1 = D0 + D0F0.
Чтобы проверить, достигнута ли желаемая точность, вычисляется AD1, а по (*) при k = 2, вычисляется F1 = E – AD1 и, если наибольший элемент матрицы F1 < e, итерации прекращаются и A–1 » D1.
Раздел 3. Численное решение нелинейных уравнений
Одной из важных практических задач при исследовании различных свойств математической модели в виде функциональной зависимости y = f(x) является нахождение значений x, при которых эта функция обращается в ноль, т.е. решение уравнения
f(x) = 0 . (1)
Как правило, точное решение его можно получить только в исключительных случаях, так как оно в большинстве случаев носит нелинейный характер. Нелинейные уравнения делятся на два класса:
1) алгебраические, содержащие только алгебраические выражения;
2) трансцендентные, содержащие и другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.).
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные методы.
Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторых конечных соотношений (формул) для простых тригонометрических, логарифмических, показательных и простейших алгебраических уравнений.
Однако подавляющее число практически значимых уравнений могут быть решено только итерационными методами, т.е. методами последовательных приближений (численными методами).
Решение уравнений (1) при этом осуществляется в два этапа:
1) определение местоположения, характера интересующего нас корня и выбор его начального значения;
2) вычисление корня с заданной точностью e, посредством выбранного какого-либо вычислительного алгоритма.
На первом этапе вначале определяют, какие корни требуется найти, например, только действительные или только положительные или наименьший корень и т.д. Затем находят отрезки из области определения функции y = f(x), взятой из (1), содержащие по одному корню.
Имеются различные подходы к решению данной задачи для обоих видов нелинейных уравнений.
На втором этапе используются итерационные методы, позволяющие с помощью некоторого рекуррентного соотношения
(2)
при выбранном начальном приближении к x* построить последовательность (xn).
Как правило, всегда стоит задача обеспечения сходимости последовательности (2) к истинному значению корня x*. Сходимость достигается посредством выбора различными способами функций j в (2), которая зависит от f(x) и в общем случае от номера последовательности решений (n). При этом если при нахождении значения xn » xk » x*, используется одно предыдущее значение m=1, то такой метод называется одношаговым. Если используется m предыдущих значений, то метод называется m-шаговым и, как правило, с увеличением m вычислительные алгоритмы усложняются.
Расчет по рекуррентной последовательности продолжается до тех пор, пока | xn – xn–1| < e. Тогда последнее xn выбирается в качестве приближенного значения корня (x* » xn).
На практике имеется большой выбор законов j, что обеспечивает многообразие численных итерационных методов решения нелинейных уравнений.