Понятие о фракталах

В 1890 г. итальянский математик и логик Джузеппе Пеано построил кривую (кривую Пеано), областью определения которой является отрезок (dim = 1), а областью значений – квадрат (dim = 2). Было показано, каким образом одна точка, двигаясь непрерывно по квадрату, может (за бесконечное время) пройти, по крайней мере, один раз через каждую точку квадрата и его границы. Кривая Пеано, ее потом окрестили «монстром», является непрерывной кривой, но нигде (ни в одной точке) не дифференцируема.

В 1904 г. шведский математик Хельга фон Кох, используя итерированные отображения, получил фигуру, названную позднее «снежинкой Коха», особенностью которой является бесконечная протяженность границы при ограниченных размерах самой снежинки. Были получены и другие монстры.

В 1919 г. немецкий тополог Феликс Хаусдорф решил проблему размерности извивающихся кривых, приписав им дробную размерность.

Систематическое изучение объектов такой необычной группы было начато французским математиком Бенуа Мандельбротом. Термин “фрактал” (английское “fractal”) был введен Б. Мандельбротом в 1975 году. Он был получен от двух латинских глаголов: frangere – ломать и fractus – дробный.

Известны следующие определения фрактала.

Определение 1.Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича (ниже будет показано вычисление этой размерности), которого строго больше его топологической размерности .

Кривая Пеано, имея топологическую размерность = 1 (одномерная кривая), имеет фрактальную размерность 1 < < 2.

Определение 2. Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому (именно самоподобные объекты стали основным инструментом Б. Мандельброта для исследования фракталов).

Определение 2 является строгим и наиболее точно отражает суть фракталов, а именно их дробную размерность. Однако, при всей правильности и точности, оно слишком ограничено, так как исключает многие фракталы в различных технических и физических задачах.

Определение 2 содержит еще один отличительный признак: фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его не наблюдать. Ниже мы подробно познакомимся с самоподобными объектами.

Определение 3.Фракталами называются масштабно-инвариантные множества, обладающие дробной размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Это определение объединяет отличительные признаки фракталов, данные определениями 1 и 2.