Метод равномерного распределения точек по отрезку


 

Идея этого метода наиболее проста и естественна. Возьмем некоторое число (целое) n, вычислим шаг h = (b – a) / n и определим значения функции f(х) в точках xk = a + kn (k = 0, 1, …, n): yk = f(xk). После этого найдем среди полученных чисел наименьшее:

 

mn = min (y0, y1, …, yn) = min f(x), x[a, b]

 

Число mn можно приближенно принять за наименьшее значение функции f(х) на отрезке [a, b]. Благодаря непрерывности функции имеем f(х)

 

,

т. е. с увеличением числа точек n ошибка, которую мы допускаем, принимая mn за m стремится к нулю. В этом методе нас может ожидать неприятность, которую иллюстрирует рисунок 5.2.

Рисунок 5.2.

 

На нем приведен график некоторой непрерывной функции. Допустим, что, желая найти ее наименьшее значение, мы взяли m = 8. Определяя значения функции yk = f(xk) в точках xk (k = 0, 1, …, 8) получим

 

m8 = min (y0, y1, …, y8) = y6 = f(x6)

В данном случае из-за недостаточного числа точек мы пропустим «узкий язык» между х1 и х2 , который опускается гораздо ниже y6 = f(x6). Поэтому при решении вопроса о числе точек важно максимально полно использовать всю дополнительную информацию о свойствах целевой функции, о степени ее гладкости, вытекающую из характера и особенностей задачи. Не последнюю роль играет и такой фактор, как опыт, интуиция исследователя.