Применение условного критерия предпочтения

 

Как уже отмечалось ранее, условный критерий предпочтения основан на введении некоторого результирующего скалярного показателя качества Крез, являющегося известной (выбранной) функцией (2.17) первичных показателей k1,…km, называемой результирующей целевой функцией (РЦФ). Поскольку возможно неограниченное множество видов (РЦФ). Поскольку возможно неограниченное множество видов РЦФ, число возможных видов УКП, в отличие от БКП, неограниченно.

Как уже отмечалось, РЦФ может выбираться либо в виде функции потерь (чем меньше Крез , тем лучше система), либо в виде функции полезности (чем больше Крез , тем лучше система). В дальнейшем, для определённости полагаем, что Крез выбрана в классе функций потерь.

Наконец, РЦФ может быть корректной и не вполне корректной. В первом случае зависимость Крез от каждого из показателей k1,…,km является монотонно возрастающей, а во втором - лишь неубывающей. Доказано, что, когда выбранная РЦФ вполне корректна, найденная на её основе система обязательно относится к множеству нехудших. Если же РЦФ не вполне корректна, то в отношении результата оптимизации, полученного при её применении, можно утверждать следующее: если значение Крез минимально лишь при единственном значении вектора К=<k1, k2,…,km>, то этому минимуму соответствует нехудшее значение вектора К, т.е. найденная оптимальная система относится к классу нехудших; если же минимуму Крез соответствует не одно, а две или более значений вектора К, то, по меньшей мере, одно из них будет нехудшим, а остальные могут быть и худшими.

Для иллюстрации этого положения, рассмотрим следующий пример: Пусть РЦФ выбрана в виде

 

Крез= fрез(k1,…,km)={k1 при k2≤ k2max , …, km≤ km max } (2.39)

 

или, что эквивалентно, Крез= k1 при условии

 

k2≤ k2 max ,…, km≤ km max (2.40)

 

Из последних соотношений следует, что в интересующей нас области показателей качества зависимость Крез от аргументов k1 ,…,km имеет вид, изображённый на рисунке 2.14.

 

 

 
 

 


 

 

       
   

 

 


Зависимость от показателя k1 является возрастающей, а от остальных показателей - лишь неубывающей. Поэтому РЦФ вида (2.39) является не вполне корректной.

Пусть, например, m=2 и множество Мсд строго допустимых показателей качества имеет вид, изображённый на рисунке 2.15 (область abc).

 

 
 

 


 

Тогда применение РЦФ вида (2.39) или (2.40) означает, что ищется минимум величины k1 при условии, что k2≤ k2 max. Поэтому, как следует из рисунка 2.15, в результате применения такой РЦФ будет выбрана точка b, т.е. одна из нехудших точек.

Пусть теперь множество Мсд имеет вид области abcd, изображённой на рисунке 2.16.

 

 


 

 

В этом случае применение такой же РЦФ приведёт к тому, что выбранному критерию будут удовлетворять все точки отрезка bc, из которых только точка b нехудшая, а все остальные точки - худшие.

Очевидно, когда решение задачи оптимизации оказывается не единственным, из найденного множества значений вектора К следует отсеять все худшие значения. Этот недостаток, не вполне корректной РЦФ по сравнению с вполне корректной частью, окупается большей возможностью её обоснования. Пусть, например, помехоустойчивость локатора обнаружения цели оценивается двумя показателями качества - вероятностью пропуска цели Рпр и вероятностью ложной тревоги, т.е.

 

k1= Рпр ; k2= Рл.т. (2.41)

 

Тогда можно ввести результирующий показатель качества в виде

 

Крез= С1Рпр+ С2Рл.т. , (2.42)

 

где С1>0, С2>0, С12=1.

 

Результирующая целевая функция (2.42) возрастает по каждому из её аргументов (Рпр и Рл.т.) и, следовательно, вполне корректна. Однако, для её применения необходимо обосновать значения весов С1 и С2, что, в большинстве случаев, осуществить не удаётся. Если вместо этого выбрать РЦФ вида (2.40), т.е. положить Крез = Рпр при Рл.т.≤ Рл.т.max , то критерий оптимальности принимает вид критерия Неймана Пирсона:

 

обеспечить minРпр при Рл.т.= Рл.т. max (2.43)

s

При этом достаточно обосновать лишь максимально допустимое значение вероятности ложной тревоги. Такое обоснование, хотя бы приближённое, в большинстве практических задач возможно.

Ранее было рассмотрено деление возможных РЦФ на функции потерь и функции полезности, а так же на вполне и не вполне корректные. Кроме того, возможные РЦФ можно подразделить на объективные и субъективные. РЦФ называется объективной, если её вид может быть достаточно объективно обоснован исходя из назначения системы. В противном случае, РЦФ называется субъективной.

Рассмотрим в качестве примера случай, в котором можно достаточно объективно обосновать РЦФ.

Пример. Пусть синтезируется система наведения зенитного снаряда по двум основным показателям качества:

 

k1= Cн , k2= hэф, (2.44)

 

где Сн - стоимость системы наведения, а hэф - эффективное (среднеквадратическое) значение ошибки наведения (промаха). При этом управляемый снаряд в целом характеризуется также двумя основными показателями

 

k1сп= Сс, k2сп= 1-Рп= Рнп, (2.45)

 

где Сс - стоимость снаряда в целом, а Рп - обеспечиваемая им вероятность поражения цели.

Если считать, что стоимость Сс фиксирована, то

 

Сс= Ссо, (2.46)

 

то снаряд в целом характеризуется единственным показателем качества

 

Ксп= k2сп= Рнп (2.47)

 

Приближённо можно полагать, что

 

Рп= 1/1+h2эф/R2эф , (2.48)

 

где Rэф - эффективный радиус поражающего действия снаряда. Также в первом приближении можно полагать

 

R2эф= АСо, (2.49)

 

где Со= Ссо - Сн - стоимость остальной (т.е. за исключением системы наведения) части снаряда , А- пост. коэффициент [м2/руб.]

Тогда с учётом (2.45), (2.48) и (2.49) получается, что

 

 

Рнп= [1+А (Ссо - Сн)/h2эф]-1 , (2.50)

 

где Сн< Cco

C учётом (2.47) выражение (2.50) можно записать также в следующем виде:

 

Крез= Ксн= [1+A(Cco-k1)/k22]-1, k1< Cco (2.51)

 

и считать оптимальной такую систему наведения снаряда (такую комбинацию показателей k1 и k2 её качества) при которой значение Крез минимально.

Однако, к сожалению, возможность объективного обоснования РЦФ имеет место далеко не всегда и, следовательно, выбранная РЦФ является, в значительной степени, субъективной.