Метод рабочих характеристик

Метод рабочих характеристик состоит в следующем:

Все показатели качества, кроме одного, которому присваивается первый номер, переводятся в разряд ограничений типа равенств и ищется минимум (по всем строго допустимым системам) показателя k₁, т.е. решается задача:

Обеспечить _min k₁ при k₂= k₂ , k₃= k₃,…, k_m= k_m . (2.21)

SМ_сд

Здесь и далее обозначение SМ_сд означает, что рассматриваются лишь те варианты построения системы, которые удовлетворяют исходным данным Д", в частности ограничениям О_s структуры и параметров системы и ограничениям О_к показателей качества k₁,…k_m (см. соотн. 2.11).

Пусть результатом решения задачи (2.21) является некоторая система (класс систем) S_p, а соответствующее ей минимальное значение показателя k₁ равно k_1min. Очевидно, результаты решения задачи (2.21) т.е. вид системы S_p и значение величины k_1min будут в общем случае зависеть от фиксированных значений k₂,…k_m показателей качества, переведённых в разряд ограничений типа равенств, т.е.

S_p= S_p (k₂…k_m ), (2.22)

K_1min= f_p (k₂,...,k_m ), (2.23)

Пример 1.

Рисунок 2.11а

Пусть множество М_сд имеет вид, изображённый на рисунке 2.11а, причём, как уже было показано, множество М_нx есть совокупность точек левой нижней границы a'b c', в соответствии с методом рабочих характеристик. В соответствии с этим методом должна решаться задача:

Обеспечить min k₁ при k₂= k₂

S М_сд

При всех допустимых значениях показателя k₂.

Из ограничения k₂≤ k_2max следует, что и k₂≤ k_2max; из ограничения же k₁≤ k_1max, следует, что k₂³ k₂. Пусть, например, в этой области выбрано k₂= k₂₀.Из рисунка 2.11а видно, что при таком значении k₂ минимально возможное значение показателя k₁ равно k'₁ и ему соответствует точка d на левой нижней границе области М_сд. Таким образом находится точка d искомого множества М_нх. Решая эту задачу последовательно для всех допустимых неравенством

k'₂≤ k₂≤ k_2max

значений показателя k₂, находим тем самым все точки левой нижней границы a'bc'd', т.е. всё множество М_нх. Зависимость k_1min=fp(k₂) в данном случае оказалась монотонно убывающей, что говорит о совпадении М_р и М_нх.

Где fp (k₂,…, k_m)- некоторая функция показателей k₂,…k_m, которую будем называть рабочей поверхностью.

Зависимости (2.22) и (2.23) можно найти, варьируя значения показателей k₂,…k_m в допустимых для них ограничениями (2.10) пределах.

Доказано, что необходимым и достаточным условием совпадения рабочей поверхности fp(k₁,…k_m) с диаграммой обмена (2.20), т.е. нахождение необходимого М_нх, является монотонно убывающий характер функции (2.23) по каждому из её аргументов. Если же рабочая поверхность не обладает указанным свойством строгой монотонности, то она также содержит все точки множества М_нх, но, кроме того, в ней имеются и худшие точки.

Пример 2. Граница abc множества М_сд не является монотонно убывающей (рисунок 2.11б)

Множество М_нх содержит лишь точки, расположенные на участке кривой ab (любая из точек участка bc, не совпадающая с b, является худшей, так как ей соответствует большее значение показателя k₂ при том же значении показателя k₁).

Таким образом, метод рабочих характеристик сводится к следующим этапам:

1. Все показатели качества, кроме одного (k₁), переводятся в разряд ограничений типа равенств, т.е. формулируется задача (2.21)

2. Задача (2.21) решается последовательно для всех допустимых ограничениями (2.10) комбинаций (k₁,…k_m) показателей качества, переведённых в разряд ограничений, в результате чего, находится рабочая поверхность(2.23).

3. Если зависимость (2.23) оказывается монотонно убывающей по каждому из её аргументов, то она полностью совпадает с исходной диаграммой обмена, геометрическим методом всех точек множества М_нх. В противном случае, из найденного множества точек необходимо исключить худшие.

2.4.2. Весовой метод отыскания М_нх

Рассмотрим теперь весовой метод отыскания М_нх. При применении этого метода минимизируется взвешенная сумма

k'_в= λ₁k₁+…+λ_i k_i + …+λ_m k_m (2.24)

показателей качества, в которых веса λ₁,…,λ_m выбираются произвольно в пределах

λ_i > 0 , ∑^m_i=1λ=1, (2.25)

т.е. решается задача:

обеспечить min k_b (2.26)

S М_сд

При некоторой фиксированной комбинации (λ₁,…λ_m) весовых коэффициентов.

Не трудно убедиться, что тот же результат получится, если вместо суммы вида (2.24) минимизировать взвешенную сумму вида

k_b= k₁+a₁k₂+…+a_i-1k_i+…+a_m-1k_m, (2.27)

где 0<a_i<∞ (2.28)

т.е. решать задачу:

обеспечить min k_b

SМсд (2.29)

Действительно из (2.24) и (2.27) следует, что k'_b= λ₁k_b, если a_i-1=λ_i /λ₁. Так как в процессе минимизации k_b (или k'_b) значения весовых коэффициентов не меняются, то из минимума k_b следует минимум k'_b и наоборот. Однако, запись вида (2.27) удобней, т.к. при этом число весовых коэффициентов на единицу меньше.

Итак, при весовом методе, решается задача (2.29) при некоторой фиксированной комбинации (a₁,…,a_m-1) весовых коэффициентов. В результате решения этой задачи, находится соответствующая система S_b и соответствующие ей значения k_1b,…,k_mb показателей, обеспечивающие получение минимального значения взвешенной суммы (2.27), т.е.

k_{b min}=k_1b+a₁k_2b+…a_m-1k_mb (2.30)

Очевидно, что как вид S_b системы S, так и соответствующие значения её показателей k_1b,…,k_mb, зависят от конкретного значения выбранной комбинации a₁,…,a_m-1 весов. Поэтому, варьируя эти комбинации весов во всех допустимых неравенствами (2.28) пределах, можно найти зависимости вида

S_b=S_b(a₁,…,a_m-1), (2.31)

k_1b=f_1b(a₁,.,a_m-1),…,k_mb=f_mb (a₁,…,a_m-1) (2.32)

Решая систему уравнений (2.32) относительно весовых коэффициентов a₁,..,a_m-1, можно получить уравнение, связывающее показатели k_1b,..,k_mb. Запишем его в виде

K_1b=f_b(k_2b,…,k_mb) (2.32)

и назовём зависимость (2.32) весовой поверхностью. Каждой точке этой поверхности соответствует некоторая система. Множество точек этой системы обозначим М_b.

Доказано, что множество М_b обладает следующими свойствами:

1. Каждая точка из М_b- нехудшая, но часть нехудших точек может не войти в состав М_b., т.е. М_bÌМ_нх

2. Если множество М_сд выпуклое, то М_b совпадает с М_нх.

3. Если решение задачи (2.26) существует для всех допустимых комбинаций показателей k₁,…k_m , то М_b совпадает с М_нх.

4. Если решение задачи (2.29) для некоторых допустимых комбинаций

(k₁,…k_m) показателей качества не существует, то этим комбинациям показателей k_m могут соответствовать как нехудшие, так и худшие точки и для таких комбинаций ответ (худшей или нехудшей точке они соответствуют) можно получить лишь каким- либо другим методом, например методом рабочих характеристик. Поясним эти положения на следующих простых примерах.

Пример 1.Множество М_сд имеет вид, приведённый на рисунке 2.12. В этом случае, как уже ранее было установлено, множество

М_нх состоит из всех точек кривой a'bc'. Выясним, какие результаты даст весовой метод. Взвешенная сумма (2.27) показателей качества в данном случае имеет вид

k_b= k₁+ ak₂, (2.33)

где 0< a< ∞

На рисунке 2.12 эта зависимость изображается прямой 1:

k₁= k_b- ak₂, (2.34)

образующей с осью абсцисс угол a, где

tga= a (2.35)

На оси ординат прямая (2.34) отсекает отрезок, равный k_b. Очевидно, значение k_b имеет минимум, когда прямая (2.34) совпадает с касательной к a'bc',т.е. принимает положение 1', изображённое на рисунке 2.12. Найденная, таким образом, точка касания А принадлежит как множеству М_b, так и множеству М_нх. Следовательно, при данном значении весового коэффициента a, найдена одна из точек искомого множества М_нх. Если несколько увеличить а, т.е. угол наклона прямой 1, то точка её касания к кривой a'bc' будет расположена выше точки А_, а при уменьшении a она будет перемещаться по границе a'bc' от точки А к точке с'. Поэтому, придавая весовому коэффициенту а всевозможные значения (в пределах о<a<∞), можно найти все точки кривой a'bc', т.е. всё множество М_нх, т.е. весовая поверхность совпадает с кривой a'bc', т.е. с диаграммой обмена. Рассматриваемое множество М_сд выпуклое поэтому, варьируя вес а, удаётся найти все точки диаграммы обмена и, следовательно, множество М_b совпадает с множеством М_нх.

Пример 2. Множество М_сд имеет вид, изображённый на рисунке 2.13 с границей gbcdef, т.е. не является выпуклым.

При этом диаграммой обмена является левая нижняя граница qbcde, содержащая множество М_нх нехудших точек, т.е. остальные точки М_сд - худшие.

Применяя весовой метод аналогично тому, как это было сделано в примере 1, получаем следующие результаты:

· при значении весового коэффициента а= а_кр, т.е. a=a_кр, прямая (2.34) касается левой нижней границы области М_сд в двух точках, b и d, т.е. решение задачи (2.29), при таком а, позволяет найти нехудшие точки b и d;

при а_кр< а < ∞ будут найдены все точки участка qb диаграммы обмена, а при о < a < a_кр- все точки участка de диаграммы обмена. Но ни одна из внутренних точек участка bcd диаграммы обмена при этом найдена не будет.

Поэтому весовая поверхность в данном случае имеет вид, изображённый на рисунке 2.13 сплошной линией. На участках qb и de она совпадает с соответствующими участками диаграммы обмена, а на участке bd эта поверхность (в данном случае кривая) не существует (не определена). Следовательно, в данном случае весовой метод позволил найти не всё множество М_нх, а лишь её часть. Поэтому на том участке, где весовая характеристика оказалась несуществующей, могут иметься как худшие, так и нехудшие точки и, следовательно, рассматривая такую неполностью определённую весовую поверхность, нельзя установить, какие именно точки оказались пропущенными - нехудшие или худшие. Ответ на этот вопрос может дать лишь применение какого-либо другого метода отыскания нехудших систем, например, метод рабочих характеристик.

Сравнение основных свойств, изложенных двух методов отыскания нехудших систем, позволяет сделать следующие основные заключения.

1. Метод рабочих характеристик позволяет найти всё множество М_нх, но часть найденных этим методом точек могут быть и худшими: МрÌМнх.

2. Любая точка (система), найденная весовым методом, всегда нехудшая, но часть нехудших точек может быть при этом пропущена: М_вÌМ_нх.

2.4.3. Комбинированный метод отыскания М_нх

Он отличается от метода рабочих характеристик тем, что в разряд ограничений типа равенств переводится не (m-1) показателей качества, а меньше, т.е. вектор качества представляется в виде K= <k₁,…,k_m'; k_m'+1,..,k_m>, где черта снизу, как и ранее означает, что подчёркнутые его показатели качества рассматриваются как некоторые фиксированные величины. Для оставшихся нефиксированными m' показателей качества ищется множество М'_нх. Это множество можно найти любым методом, например весовым и тем самым получить диаграмму обмена между m' показателями качества вида

k₁= f'_нх(k₂,.., k_m'; k_m'+1,…,k_m) (2.36)

Эта диаграмма обмена зависит от значений k_m'+1,…, k_m фиксированных показателей. Диаграмма обмена ищется для всех допустимых [неравенствами (2.10)] значений показателя качества k₁,…,k_m'. Затем проверяется зависимость (2.36) от значений каждого из фиксированных параметров k_m'+1,…,k_m. Доказано, что если эта зависимость окажется монотонно убывающей по всем этим параметрам (во всём диапазоне их допустимых значений), то в выражении (2.36) черта снизу под показателями k_m'+1,..,k_m может быть ликвидирована и функция (2.36) совпадает с искомой диаграммой обмена между m (а не только m') показателями качества.

Например, если при m'=2, m=3 было найдено, что функция (2.36) имеет вид

k₁= m 1/k₂ /k₃, (2.37)

то поскольку зависимость k₁ от k₃- монотонно убывающая, уравнение искомой диаграммы обмена между показателями k₁, k₂, k₃ можно записать в виде

k₁= m 1/k₂/k₃ (2.38)

Если в выражении (2.36) зависимость k₁ хотя бы от одного из показателей k_m'+1,…,k_m окажется не монотонно убывающей, то зависимость k₁=f_нх(k₁,..,k_m';k_m'+1,…,k_m), получается из (2.36) отбрасыванием черты снизу содержит не только все нехудшие точки, но и некоторые худшие.

Изложенный метод называется комбинированным, т.к. в общем случае не совпадает ни с методом рабочих характеристик (при m'>1), ни с весовым методом (при m'<m). Очевидно, его имеет смысл применять при m³3, т.к. при m=2 получается m'=1 и он сводится к методу рабочих характеристик.

Применение метода целесообразно, когда множество М'_нх уже найдено для m' показателей качества и ряд дополнительных показателей качества при отыскании М'_нх при этом был фиксирован (заморожен). Тогда для «автоматического» распространения уже известной для m' показателей диаграммы обмена (2.36) на все m показателей достаточно лишь убедиться в том, что зависимость k₁ от дополнительных показателей k_m'+1,…,k_m является монотонно убывающей.