Методы отыскания нехудших систем

Рассмотрим, сначала, случай дискретного выбора систем. При этом множество М_сд строго допустимых точек в R_m конечно. Рассмотрим в качестве иллюстрации две характерные ситуации:

1. Число N точек, содержащихся в М_сд, временно, но учитывается всего два показателя качества (этот случай наиболее характерен для научных исследований и начального этапа проектирования). Тогда удобно изобразить все точки на плоскости показателей качества так, как это сделано, например на рисунке 2.10.

Рисунок 2.10.

Чтобы выяснить, какие из строго допустимых точек А₁,…,А₁₆ являются нехудшими, применим метод прямоугольников. Он состоит из следующих этапов:

1-ый этап. Проводим вертикальную прямую ab через самую левую точку множества. Если на этой прямой оказалось более одной точки (например, точки А₁ и А₆), то из этих точек самая нижняя точка будет принадлежать М_нx (поскольку у неё самое маленькое значение коэффициента k₂ и k₁, меньше, чем у А₆).

2-ой этап. Проводим горизонтальную прямую через самую нижнюю точку множества. Если на этой прямой оказалось более одной точки (например, точки А₂, А₁₅, и А₆), то из этих точек самая левая (А₂) принадлежит множеству М_нx (поскольку у неё самое маленькое значение коэффициента k₁ и k₁, меньшее, чем у А₁₅ и А₁₆.

3-ий этап. Через точки А₁ и А₂ проводим соответственно горизонтальную и вертикальную прямые до их пересечения (в точке Д). Тогда очевидно, что все остальные точки, принадлежащие множеству М_нx могут лежать лишь внутри прямоугольника А₁ ДА₂ В.

4-ый этап. Внутри прямоугольника А₁ДА₂В проводим вертикальную прямую через самую левую точку (точки) и горизонтальную прямую через самую нижнюю точку (точки), которые по аналогии с вышесказанным также будут принадлежать множеству М_нx (т.е. А₃ и А₄- принадлежат М_нx).

5-ый этап. Проведём через точку А₃- горизонтальную прямую, а через точку А₄- вертикальную прямую. Тогда все остальные точки множества М_нx расположены внутри прямоугольника А₃ДА₄В'. Далее процедура продолжается в том же порядке.

В рассматриваемом примере (рисунок 2.10) в её продолжении нет необходимости, так как внутри прямоугольника А₃Д'А₄В' оказалась всего одна точка (А₅), которая и является последней искомой точкой множества М_нx. Таким образом, в рассматриваемом случае искомое множество М_нx состоит из точек А_1, А_2, А_3, А_4, А_5.

2. Число m учитываемых показателей качества сравнительно велико (например, m>5), а число N, сравниваемых вариантов, невелико (например, N≤5). Этот случай характерен для этапов проектирования, близких к заключительному. При этом множество М_нx можно искать методом, состоящим из следующих этапов:

1-ый этап. Присваиваем всем сравниваемым вариантам номера по следующему принципу: меньший номер - тому варианту, которому соответствует меньшее значение показателя k₁. Если при этом окажется, что два или более варианта имеют одинаковое значение показателя k₁, то меньший номер присваивается тому из них, которому соответствует меньшее значение показателя k₂. Если окажется, что у некоторых вариантов одинаковы значения не только k₁, но и k₂, то меньший номер присваивается тому из них, которому соответствует меньшее значение показателя k₃ и т.д. Наконец, если окажется, что два или более варианта имеют одинаковые значения всех m показателей качества (что крайне редко), то всем этим вариантам присваивается один и тот же номер, и они рассматриваются как единая система, точнее - класс систем. Сравнение вариантов внутри этого класса производится на последующих этапах проектирования, путём более точного определения, уже учтённых показателей качества или путём учёта дополнительных показателей качества.

2-ой этап. В соответствии с присвоенными номерами составляем для всех (строго допустимых) вариантов таблицу значений их показателей качества; например таблица 2.1 позволяет сравнить пять вариантов по шести показателям качества.

Таблица 2.1

3-ий этап. Рассматривая таблицу, выявляем нехудшие варианты по принципу: если данный вариант имеет меньшее, чем все остальные варианты, значение хотя бы одного из показателей качества, то он нехудший. По этому принципу находим, что наименьшее значение показателя k₂ имеет вариант 5, показателя k₃- вариант 3, показателя k₄- вариант 2. Варианты 1,2,3 и 5- нехудшие (т.к. у варианта 1- наименьшее значение k₁). Следовательно, остаётся выяснить, нехудшим или худшим является вариант 4.

4-ый этап. Выясним, к какому множеству (М_нx или М_x) следует отнести оставшиеся неклассифицированные варианты. В нашем примере таковым остался лишь вариант 4. Вариант 1 не является безусловно лучшим, так как имеет большее значение показателя k₂. Вариант 2 имеет большее значение k₂ и, следовательно, тоже не может быть признан безусловно лучшим. У варианта 3 все показатели не больше, чем у варианта 4, а показатели k₁, k₃, k₄, k₅ и k₆ меньше. Следовательно, вариант 4- худший.

В результате проведения всех этапов выяснено, что вариант 4 является худшим, а остальные - нехудшими, т.е. множество М_нx состоит из вариантов 1,2,3 и 5.

Рассмотрим теперь отыскания множества М_нx , когда М_нx содержит не конечное число, а континуум точек. Рассмотрим кратко лишь три из них: метод рабочих характеристик, весовой метод и комбинированный метод.