Теоремы о среднем значении
Теоремы о среднем — одно из свойств дифференцируемых функций.Одним из важнейших классов (множеств) функций, изучаемых в курсе математического анализа и имеющих первостепенное значение при решении задач практического характера, является класс непрерывных функций. Класс дифференцируемых функций является подмножеством множества непрерывных функций. Дифференцируемые функции представляют особый интерес, так как большинство задач техники и естествознания приводят к исследованию функций, имеющих производную. Такие функции обладают некоторыми общими свойствами, среди которых важную роль играет ряд теорем, объединенных общим названием теоремы о среднем. В каждой из этих теорем утверждается существование на отрезке такой точки, в которой исследуемая функция обладает тем или иным свойством.
Теорема (Ролля).Пусть функция удовлетворяет следующим условиям на отрезке .
1) определена и непрерывна на ;
2) дифференцируема на ;
3) .
Тогда существует по крайней мере одна точка , такая, что .
Доказательство. Известно, что если непрерывна на , то на этом отрезке она принимает свое наибольшее и наименьшее значения (по теореме Вейерштрасса). Возможны два случая.
1. =.
2. >. Тогда из условия следует, что хотя бы одно из двух значений или функция принимает в некоторой внутренней точке отрезка . Пусть для определенности . Это означает, что r .
|
|
Покажем, что . Согласно условию 2 теоремы Ролля, для , в том числе и для точки существует конечная производная функции . Это условие равносильно существованию равных односторонних пределов:
.
Найдем односторонние пределы. Так как >, то приращение функции r0. Следовательно,
.
Случай рассматривается аналогично. ⊠
Геометрически теорему Ролля можно пояснить следующим образом: если непрерывная на отрезке и дифференцируемая в интервале функция принимает на концах этого отрезка равные значения, то на графике этой функции найдется хотя бы одна такая точка с абсциссой , в которой касательная параллельна оси .
З
амечание. Условия теоремы Ролля являются достаточными, но не необходимыми. Например, функция определена и непрерывна на [—1; 1], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, однако для нее не выполняется третье условие теоремы Ролля: . Тем не менее, существует точка , такая, что .
Теорема (Лагранжа).Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует по крайней мере одна точка , такая, что
. (1)
Доказательство. Составим вспомогательную функцию
.
Покажем, что функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно:
1) непрерывна на , так как является суммой непрерывных на функций;
2) дифференцируема на , так как является суммой дифференцируемых на функций;
3) .
Тогда по теореме Ролля существует точка , такая, что .
,
тогда
.
⊠
Теорему Лагранжа иногда называют также теоремой о конечных приращениях.
Формулу (1) называют формулой Лагранжа. Иногда ее записывают в виде:
.
Геометрически теорема Лагранжа утверждает, что между точками и на дуге найдется по крайней мере одна точка , в которой касательная параллельна хорде , при условии, что в каждой точке дуги существует касательная.
Положим в формуле Лагранжа (1) , . Тогда она примет вид
, (2)
где .
Формула (2) связывает приращения аргумента и функции, поэтому ее называют формулой конечных приращений.
Если в формуле Лагранжа (1) положить , получим теорему Ролля, т. е. теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. В свою очередь обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.
Теорема (Коши).Пусть функции и удовлетворяют
следующим условиям:
1) непрерывны на отрезке ;
2) дифференцируемы в интервале , причем .
Тогда существует по крайней мере одна точка , такая, что
. (3)
Доказательство.Составим вспомогательную функцию:
.
Заметим, что . Действительно, если бы , то для функции на отрезке [a; b] были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и по этой теореме внутри отрезка нашлась бы по крайней мере одна точка , для которой , что противоречит условию теоремы. Следовательно, .
Покажем, что вспомогательная функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно:
1) непрерывна на как сумма непрерывных на функций;
2) дифференцируема на как сумма дифференцируемых на функций;
3) ,
Найдем производную функции :
.
По теореме Ролля существует точка такая, что
.
⊠
При формула Коши (3) «перейдет» в формулу Лагранжа (2). Таким образом, теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.