Теоретические основы метода

Метод статистического моделирования (или метод Монте-Кар­ло) — это способ исследования поведения вероятностных систем (экономических, технических и т. д.) в условиях, когда не извест­ны в полной мере внутренние взаимодействия в этих системах. Название метода Монте-Карло появилось во вре­мя второй мировой войны, когда этот подход был применен к проблемам, связан­ным с разработкой атомной бомбы

Этот метод заключается в воспроизведении исследуемого физи­ческого процесса при помощи вероятностной математической мо­дели и вычислении характеристик этого процесса. Одно такое вос­произведение функционирования системы называют реализацией или испытанием. После каждого испытания регистрируют сово­купность параметров, характеризующих случайный исход реализа­ции. Метод основан на многократных испытаниях построенной модели с последующей статистической обработкой полученных данных с целью определения числовых характеристик рассматрива­емого процесса в виде статистических оценок его параметров. Про­цесс моделирования функционирования экономической системы сводится к машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на ЭВМ со всеми сопровождающими его случайно­стями. Первые сведения о методе Монте-Карло были опубликованы в конце 40-х гг. Авторами метода являются американские математи­ки Дж. Нейман и С. Улам. В нашей стране первые работы были опубликованы в 1955-1956 гг. В.В. Чавчанидзе, Ю.А. Шрейдером и B.C. Владимировым.

Основой метода статистического моделирования является за­кон больших чисел. Закон больших чисел в теории вероятностей доказывает для различных условий сходимость по вероятности средних значений результатов большого числа наблюдений к неко­торым постоянным величинам.

Под законом больших чисел понимают ряд теорем. Например, одна из теорем П.Л. Чебышева формулируется так: «При неограни­ченном увеличении числа независимых испытаний п среднее ариф­метическое свободных от систематических ошибок и равноточных результатов наблюдений ξi случайной величины ξ, имеющей ко­нечную дисперсию D(ξ), сходится по вероятности к математичес­кому ожиданию М(ξ) этой случайной величины». Это можно запи­сать в следующем виде:

(1)

где ε — сколь угодно малая положительная величина.

Теорема Бернулли формулируется так: «При неограниченном увеличении числа независимых испытаний в одних и тех же усло­виях частота Р*(А) наступления случайного события А сходится по вероятности к его вероятности Р», т. е.

(2)

Согласно данной теореме, для получения вероятности какого-либо события, например вероятности состояний некоторой системы Рi(t),i = 0,k, вычисляют частоты для одной реализации (испытания), далее проводят подобные вычисления для числа реализаций, равного п. Результаты усредняют и этим самым с не­которым приближением, получают искомые вероятности состоя­ний системы. На основании вычисленных вероятностей определя­ют другие характеристики системы. Следует отметить, что, чем больше число реализаций n, тем точнее результаты вычисления ис­комых величин (вероятностей состояний системы).

Последнее утверждение легко доказать. Предположим, что тре­буется найти неизвестную величину m. Подберем такую случайную величину ξ, чтобы М(ξ) = m и D(ξ) = b². Рассмотрим n случайных величин ξ₁, ξ₂, ξ₃,…, ξ_n распределение которых совпадает с рас­пределением ξ. Если n достаточно велико, то согласно центральной предельной теореме распределение суммы ρ_n= ξ₁ + ξ₂ + … + ξ_n будет приближенно нормальным с параметрами а = n• m; σ² = n • b².

Из правила «трёх сигм»

(3)

следует, что

Разделим неравенство, стоящее в фигурной скобке, на n и по­лучим эквивалентное неравенство с той же вероятностью:

Это соотношение можно записать в виде

(4)

Соотношение (4) определяет метод расчета m и оценку по­грешности. В самом деле, найдем n значений случайной величины ξ. Из выражения (4) видно, что среднее арифметическое этих зна­чений будет приближенно равно m. С вероятностью Р = 0,997 ошибка такого приближения не превосходит величины . Очевидно, эта ошибка стремится к нулю с ростом n, что и требовалось доказать. Решение любой задачи методом статистического моделирования состоит в:

- разработке и построении структурной схемы процесса, выявле­нии основных взаимосвязей;

- формальном описании процесса;

- моделировании случайных явлений (случайных событий, слу­
чайных величин, случайных функций), сопровождающих функ­ционирование исследуемой системы;

- моделировании (с использованием данных, полученных на пре­дыдущем этапе) функционирования системы – воспроизведении
процесса в соответствии с разработанной структурной схемой и
формальным описанием;

- накоплении результатов моделирования, их статистической об­работке, анализе и обобщении.

В отличие от описанных ранее математических моделей, ре­зультаты которых отражали устойчивое во времени поведение сис­темы, результаты, получаемые при статистическом моделировании, подвержены экспериментальным ошибкам. Это означает, что лю­бое утверждение, касающееся характеристик моделируемой систе­мы, должно основываться на результатах соответствующих статис­тических проверок.

Экспериментальные ошибки при статистическом моделирова­нии в значительной степени зависят от точности моделирования случайных явлений, сопровождающих функционирование исследу­емой системы.

Известно, что при изучении вероятностных систем случайные явления могут интерпретироваться в виде случайных событий, слу­чайных величин и случайных функций. Следовательно, моделиро­вание случайных явлений сводится к моделированию случайных событий, случайных величин и случайных функций. Так как слу­чайные события и случайные функции могут быть представлены через случайные величины, то и моделирование случайных собы­тий и случайных функций производится с помощью случайных ве­личин. В связи с этим рассмотрим сначала способы моделирования случайных величин.